Binome in Körper mit char p

22.11.2011, 13:27	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
Binome in Körper mit char p Vorerst gleich mal direkt eine Entschuldigung für meinen spärlichen Einsatz von latex, aber latex ließ mich mehrere Exponenten nicht schreiben, keine Ahnung warum. Ich soll zeigen: Sei K ein endl. Körper mit mit Charakteristik p, 1. $\begin{eqnarray} (a+b)^p=a^p+b^p \end{eqnarray}$ für alle a,b aus K 2. (a+b)^p^m=a^p^m+b^p^m für alle a,b aus K, m aus IN 3. Sei $\begin{eqnarray} f=(a_0,a_1,a_2...) \end{eqnarray}$ aus K[X]. Dann gilt: $\begin{eqnarray} f^p=(a_0^p,0,0,...,a_1^p,0,...,a_2^p,0....) \end{eqnarray}$ Das erste habe ich gelöst, ich habe einfach den bin. Lehrsatz benutzt und dann damit argumentiert, dass nur der erste und der letzte Term nicht Null werden, weil in allen andren p über k auftritt ohne, dass sich das p rauskürzt. Ganz bin ich mir aber nicht sicher ob man das so einfach sagen kann. Bei 2. habe ich einen ähnlichen Ansatz versucht. Ich bin bis (a+b)^p^m= $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^m \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a^p^(m-k) b^p^k gekommen, aber nun steh ich an und bei 3. hab ich noch keinen konkreten Ansatz. Könnt ihr mir helfen?
22.11.2011, 17:11	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
niemand ne idee?
22.11.2011, 17:18	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur 1.: Das ist die Argumentation, die ich auch machen würde. $\begin{eqnarray} \binom {p}{k}=\frac{p\cdot (p-k+1)} {k!} \end{eqnarray}$ ist für $\begin{eqnarray} k \neq 0,p \end{eqnarray}$ durch p teilbar da p prim und k<p, damit ist auch k! kein Teiler von p. Bei der 2. Induktion nach m. Bei 3. Da würde mir helfen das Polynom in der Form $\begin{eqnarray} f=a_nX^n + \ldots +a_0 \end{eqnarray}$ zu schreiben. Im Zweifelsfall wieder Induktion
28.11.2011, 12:17	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, habs dann hinbekommen, als der Tipp mit Induktion kam

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