Irreduzibilität in einem Ring

22.11.2011, 13:44

Roonex

Irreduzibilität in einem Ring

Hallo,

gegeben ist der Ring $\begin{eqnarray*} R = \mathbb Z \left[\sqrt{-10} \right] \end{eqnarray*}$
Man soll jetzt (unter anderem) für das Element $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ zeigen, dass es in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, also nur triviale Teiler hat.

Ich habe also angenommen, dass ich $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ als Produkt von 2 Elementen aus $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ schreiben kann, und wollte zeigen dass diese dann $\begin{eqnarray*} \pm 2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ sind:

$\begin{eqnarray*} (a+b\cdot \sqrt{-10})\cdot (c+d\cdot \sqrt{-10} ) = 2 \Rightarrow ac + ad\cdot \sqrt{-10} + cb\cdot \sqrt{-10} -10\cdot bd = 2 \end{eqnarray*}$

Dann müssen als die beiden mittleren Terme zusammen 0 ergeben, damit man $\begin{eqnarray*} \sqrt{-10} \end{eqnarray*}$ rausbekommt, es muss also $\begin{eqnarray*} ad = -bc \end{eqnarray*}$ sein, es bleibt

$\begin{eqnarray*} ac - 10bd = 2 \end{eqnarray*}$

Hier stecke ich jetzt fest, ich weiß nicht wie ich weiter argumentieren soll.
Am liebsten würde ich ja sagen, dass $\begin{eqnarray*} bd = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann wäre es gezeigt.

Kann mir da jemand einen Tipp geben?

22.11.2011, 17:24

galoisseinbruder

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Ich würde $\begin{eqnarray*} ac - 10bd = 2 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} ac=2(1+5bd) \end{eqnarray*}$ schreiben dann kannst Du über Teilbarkeit argumentieren.

Mein Mittel der Wahl bei so einer Aufgabe wäre die Norm auf $\begin{eqnarray*} R = \mathbb Z \left[\sqrt{-10} \right] \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} N(a+ b \sqrt{-10})=(a+b\sqrt{-10})(a-b\sqrt{-10})=a^2+10b^2 \end{eqnarray*}$

22.11.2011, 17:38

Roonex

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Das mit der Norm scheint zu funktionieren, also die entspricht ja dem Betrag bei den komplexen Zahlen.

Ich denk ich mach das so smile

Vielen Dank!! Freude

Edit: Ah, ist nicht ganz der Betrag, aber sowas ähnliches zumindest.

13.05.2012, 17:49

blubbel

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Ich habe ein ganz ähnliches Problem, man verzeihe mir daher die Wiederbelebung Augenzwinkern

Bei mir geht es um $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \left[\sqrt{10} \right] \end{eqnarray*}$ . Ich möchte zunächst zeigen, dass es kein Element gibt, dessen Norm 2 ist. Aufgeschrieben bedeutet das:
Warum gibt es keine ganzzahlige Lösung für $\begin{eqnarray*} a^2-10b^2=2 \end{eqnarray*}$ ? Ich komme auf keinen Beweis. Umstellen, z.B. nach a ergibt auch nichts brauchbares: $\begin{eqnarray*} a=\pm \sqrt{3+10b^2} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand einen Tipp für den Beweis geben?

Die Irreduzibilität möchte ich danach auch zeigen - aber das wird ganz ähnlich zu obigem sein, weshalb ich vielleicht nach diesem Beweis dann selbst drauf komme.

14.05.2012, 07:03

jester.

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Zitat:

Original von blubbel
Warum gibt es keine ganzzahlige Lösung für $\begin{eqnarray*} a^2-10b^2=2 \end{eqnarray*}$ ?

Betrachte die Gleichung modulo 5. Ist 2 ein Quadrat mod 5?

14.05.2012, 10:29

blubbel

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Wow, darauf muss man erst einmal kommen :o
Vielen Dank smile

Eine vielleicht nicht so schlaue Frage hinterher: Für mich war das nicht offensichtlich, also dass 2 kein quadratischer Rest mod 5 ist. Natürlich kann man es bei 5 leicht durchprobieren, aber gibt es vielleicht eine elegantere Möglichkeit das zu begründen?

14.05.2012, 11:07

Mystic

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Zitat:

Original von blubbel
Eine vielleicht nicht so schlaue Frage hinterher: Für mich war das nicht offensichtlich, also dass 2 kein quadratischer Rest mod 5 ist. Natürlich kann man es bei 5 leicht durchprobieren, aber gibt es vielleicht eine elegantere Möglichkeit das zu begründen?

Wenn man hier "mit Kanonen auf Spatzen schießen will", könnte man auch den sog. 2.Ergänzungssatz heranziehen, der besagt, dass 2 für ungerade Primzahlen genau dann quadrischer Nichtrest ist , wenn diese von der Form $\begin{eqnarray*} 8k \pm 3 \end{eqnarray*}$ sind... Augenzwinkern

14.05.2012, 17:30

blubbel

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Alles klar, immerhin muss ich mich nicht schämen, nicht selbst darauf gekommen zu sein Augenzwinkern

Danke!

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