Legendre-Fenchel-Transformation berechnen

22.11.2011, 16:31	eri92	Auf diesen Beitrag antworten »
Legendre-Fenchel-Transformation berechnen Meine Frage: Wie kann ich die Legendre-Fenchel-Transformation für die Funktionen berechnen?? f(x)=1/2x^2 (irgendwie mit quadratischer Ergänzung) f(x)=4x-5 Meine Ideen: Sollte ich die Formel f*(f'(x))=xf'(x)-f(x) benutzen?
22.11.2011, 18:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Von dieser Transformation habe ich noch nie etwas gehört. Wenn ich aber den englischen Wikipedia-Artikel richtig verstehe, ist $\begin{eqnarray} f^{} \end{eqnarray}$ für eine auf einem Intervall erklärte Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} f^{}(p) = p \cdot g(p) - f \left( g(p) \right) \ \ \text{mit} \ g \ \text{als Umkehrfunktion der Ableitung} \ f' \end{eqnarray}$ Für die Existenz von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ist die Existenz und strenge Monotonie von $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ hinreichend. Der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray} f^{} \end{eqnarray}$ ist der Wertebereich von $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ . Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x) = \operatorname{e}^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p = f'(x) = \operatorname{e}^x \end{eqnarray}$ Umkehrfunktion: $\begin{eqnarray} x = g(p) = \ln p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{}(p) = p \cdot \ln p - \operatorname{e}^{\ln p} = p \cdot \ln p - p \, , \ \ p>0 \end{eqnarray}$ Wende dieses Verfahren auf deine erste Funktion an. So wirst du automatisch zu $\begin{eqnarray} f^{} \end{eqnarray}$ geführt. Bei der zweiten Funktion gibt es allerdings Probleme, denn $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ ist dort ja konstant, was Umkehrbarkeit angeht also der schlimmst anzunehmende Fall. Wenn man jedoch die erste Definition des Wikipedia-Artikels formal anwendet (die mit dem Supremum), erhält man $\begin{eqnarray} f^{}(p) = \begin{cases} \infty & \mbox{für} \ \ p \neq 4 \\ 5 & \mbox{für} \ \ p = 4 \end{cases} \end{eqnarray}$ Ob man das als gültige Lösung anerkennt oder eher sagt, dieses $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ besitzt keine Legendre-Fenchel-Transformierte, weiß ich nicht.

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