Kurze exakte Sequenz

22.11.2011, 19:15	Creastfallen	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze exakte Sequenz Meine Frage: Nachdem kurz erläutert wurde, was eine kurze exakte Sequenz ist ( Sequenz: V0 -f0-> V1 -f1-> V2 -f2-> V3 -f3-> V4 exakt: Wenn Bild fi-1 = Kern fi, kurz: n=4, V0=V4=0) Und bewiesen wurde, dass dim V1 - dim V2 + dim V3 = 0 im Falle einer kurzen exakten Sequenz gilt, kam dann folgende Frage: "Welche Formel erhält man für n = 4, wenn man nur V0=V4 und Bild f3 = Kern f0 voraussetzt?" Meine Ideen: Ich verstehe ehrlich gesagt die Aufgabe nicht einmal, weil mir schleierhaft ist, welche Gestalt die zu suchende Formel hat oder welchen Sinn. Zwar kann ich durch die neuen Voraussetzungen einige Aussagen über Dim Vo, V3 und V4 treffen, aber nicht über V1 und V2.
22.11.2011, 19:52	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze exakte Sequenz Hallo Creastfallen, Ich nehme an, dass die Sequenz schon exakt sein soll - nur eben nicht kurz. Gib doch einfach mal den ganzen relevanten Teilräumen Namen. Also zum Beispiel $\begin{eqnarray} {\rm ker}(f_i)=:W_i \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} {\rm Bild}(f_i)=W_{i+1} \end{eqnarray}$ Mit dem Homomorphiesatz ergibt das für Deine vier Abbildungen auch vier Gleichungen, bei denen Du dann eben versuchen musst, die ganzen $\begin{eqnarray} \dim W_i \end{eqnarray}$ zu eliminieren. Gruß, Reksilat.
22.11.2011, 21:42	Creastfallen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass das nach wie vor eine exakte Sequenz ist hilft mir auf jeden Fall weiter. Den Homomorphiesatz hatten wir jedoch noch nicht. Sollte aber doch auch ohne gehen, ich muss doch einfach nur die Gleichungen wie zuvor für den Fall einer kurzen exakten Sequenz aufstellen und kann dann doch direkt eliminieren. Ich setze mich mal dran MfG
23.11.2011, 11:06	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Exakte Sequenzen ohne vorher was vom Homomorphiesatz gehört zu haben? Ich meinte damit nur, wenn $\begin{eqnarray} f_i:V_i\to V_{i+1} \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} V_i/{\rm ker} f_i\cong{\rm Bild}(f_i) \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \dim V_i=\dim{\rm ker}(f_i)+\dim{\rm Bild}(f_i) \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.
23.11.2011, 11:36	Creastfallen	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Aussage ist mir bekannt, die Herleitung allerdings nicht. Wurde von unserem Dozenten, von dem auch unser Lehrbuch stammt nicht als Homomorphiesatz betitelt sondern "Dimensionsaussage für lineare Abbildungen". Ohne den Satz hätte ich den Beweis im ersten Teil auch gar nicht führen können, aber danke für die Aufklärung. MfG

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