mächtigkeit

22.11.2011, 19:23	Niklas M.	Auf diesen Beitrag antworten »
mächtigkeit Meine Frage: Siehe Anhang Meine Ideen: Mein Ansatz: Bei der Aussage die ich beweisen soll, handelt es sich ja um eine Implikation. Diese wird nur falsch, wenn w -> f. Sei A, B beliebig (1) Annahme: (card(N) = card(B)) < card(B) (2) zu zeigen: card(N vereinigt A) < card(B) Beweisführungen sind eine echte Schwäche von mir, daher weiß ich nicht, wie ich jetzt genau weitermachen soll. Beim Hinweis steht ja, dass ich (2) per Widerspruchsbeweis zeigen kann. Heißt das jetzt, dass ich card(N vereinigt A) >= card(B) zeigen soll und dann auf einen Widerspruch stoßen soll? Ich bin echt am verzweifeln. card(N) = card(Z) zu zeigen war ja noch einfach, aber das... MfG Niklas
23.11.2011, 14:56	Niklas M.	Auf diesen Beitrag antworten »
da ich ja weiß, dass card(N) = card(Z) = card(Q), könnte ich zb. annehmen, dass A Teilmenge von Q sein muss, da N und Z Teilmengen von Q sind? Somit könnte ich nämlich folgern, dass (A vereinigt N) Teilmenge von Q ist und somit card(A vereinigt N) kleiner als card(B) sein muss, da nach unserer Annahme card(N) kleiner als card(B) ist und außerdem card(N) = card(Q) ist.
23.11.2011, 15:02	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das kannst du nicht annehmen. Sei A z.B. die Menge der rationalen Zahlen mit der Zahl Pi. Diese hat immer noch gleiche Mächtigkeit wie die Menge der natürlichen Zahlen, ist aber keine Teilmenge von Q. Kennst du Cantors Beweis, dass Q und N gleichmächtig sind? MfG
23.11.2011, 17:15	Niklas M.	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop, kenn ich. Aber inwiefern soll mir das hier weiterhelfen? P.S: Bei unserer Beweisführung dürfen wir direkt annehmen, dass card(N) = card(Z) = card(Q), da dies so in unserer Formelsammlung steht.
23.11.2011, 17:51	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, aus Cantors Diagonalisierungsargument folgt direkt, dass abzählbare Vereinigungen von abzählbaren Mengen wieder abzählbar sind... MfG
23.11.2011, 18:36	Niklas M.	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Satz ist super, leider steht diese so nicht in unserer Formelsammlung, daher muss ich jetzt erstmal beweisen, dass der Satz "Die Vereinigung abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar" gilt. Beweis Satz 1: Sei N = {X(1), X(2), X(3), ...} abzählbar Sei A = {Y(1), Y(2), Y(3),...} abzählbar Sei N U A = {X(1), Y(1), X(2), Y(2), X(3) Y(3),...} wir geben ein bijektive Funktion f: N -> N U A an: n ->{ X(1), falls n = 1; X(n/2) falls n mod 2 = 0 und n > 1; Y((n+1)/2), falls n mod 2 = 1 } N U A ist somit abzählbar. (i) Aus unserer Annahme folgt, dass B überabzählbar ist, denn card(N) < card(B). Da nach Satz 1 (N U A) abzählbar ist, ist (N U A) auch äquipotent zu N (Definition aus unserer Formelsammlung) (ii)Zwei Mengen A und B heißen äquipotent, wenn sie die gleiche Kardinalität haben. Aus (i) folgt somit, dass (N U A) und N die gleiche Kardinalität haben.(Definition aus unserer Formelsammlung) (iii) wegen card(N) < card(B) und (ii) folgt somit card(N U A) < card(B) q.e.d Ist dieser Beweis schlüssig? Wenn ja, wie schreibt man das sauber in mathematischer Schreibweise hin? MfG Niklas
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24.11.2011, 19:29	Niklas M.	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wäre schön, wenn noch jmd. etwas zu meinem Beweis sagen könnte und was man noch schöne formulieren könnte, da ich nur noch bis morgen Zeit habe. Vielen Dank MfG Niklas

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