EW und Varianz der F und T Verteilung

09.01.2007, 10:26

Haugg

EW und Varianz der F und T Verteilung

Hallo,

ich würde gerne wissen, wie man den Erwartungswert und die Varianz der Fischer und Student-t-Verteilung berechnet.

Die W.dichte der Fischer Verteilung ist ja:
$\begin{eqnarray*} f_{m,n}(x)=m^{\frac{m}{2} } n^{\frac{n}{2}} \cdot \frac{\Gamma (\frac{m}{2} + \frac{n}{2})}{\Gamma (\frac{m}{2}) \Gamma (\frac{n}{2})} \cdot \frac{ x^{ \frac{m}{2} -1}}{(mx+n)^\frac{m+n}{2}} \end{eqnarray*}$

Wenn man damit den Erwartungswert berechnen will, ist das ziemlich eklig.

Es gilt aber auch:
$\begin{eqnarray*} F(m,n)=\frac{\frac{\chi_m^2}{m}}{\frac{\chi_n^2}{n}} \end{eqnarray*}$

Also müsste der Erwartungswert doch auch so zu berechnen sein, oder?
$\begin{eqnarray*} E[Z]=\frac{m}{n}E[\frac{\sum_{i=1}^m X_i} {\sum_{j=1}^n Y_j}] \end{eqnarray*}$

Man kann jetzt noch die Summen rausziehen und m und n kürzen, aber dann komme ich nicht auf den richtigen Erwartungswert.

Und wie ist das bei der Student-t-Verteilung. Gibts da nen Trick oder muss ich tatsächlich die Dichte integrieren?

09.01.2007, 10:38

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RE: EW und Varianz der F und T Verteilung

Zitat:

Original von Haugg
Also müsste der Erwartungswert doch auch so zu berechnen sein, oder?
$\begin{eqnarray*} E[Z]=\frac{m}{n}E[\frac{\sum_{i=1}^m X_i} {\sum_{j=1}^n Y_j}] \end{eqnarray*}$

Bis hierhin richtig, aber:

Zitat:

Original von Haugg
Man kann jetzt noch die Summen rausziehen

Wie willst du denn hier die Summen rausziehen? Allenfalls die Zählersumme in der Form

$\begin{eqnarray*} E\left[ \frac{\sum\limits_{i=1}^m X_i} {\sum\limits_{j=1}^n Y_j} \right] = \sum\limits_{i=1}^m E\left[ \frac{X_i} {\sum\limits_{j=1}^n Y_j} \right] \end{eqnarray*}$ ,

das geht noch. Falls du aber mit dem Gedanken $\begin{eqnarray*} E\left[ \frac{U}{V} \right] \stackrel{?}{=} \frac{E(U)}{E(V)} \end{eqnarray*}$ spielen solltest: Vergiss es, diese Gleichung ist i.a. falsch.

09.01.2007, 11:05

Haugg

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Daran hatte ich jetzt auch gar nicht gedacht, aber die ZV sind doch unabhängig. Das Aufspalten des Erwartungswerts geht ja bei unabhängigen ZV aber wohl nur bei Multiplikation der ZV nicht bei Brüchen, oder?

Für den Erwartungswert soll ja $\begin{eqnarray*} E[x]=\frac{n}{n-2} \end{eqnarray*}$ rauskommen. Mit dieser Methode geht das dann wohl nicht, muss ich tatsächlich das Integral der Dichte lösen?

Ich hab mich jetzt mit der Student-t-Verteilung beschäftigt. Wegen Symmetrie der Dichte um den Nullpunkt müsste doch doch als Erwartungswert 0 rauskommen (Integrale aufspalten, umformen, kürzen sich dann raus). Für die Varianz muss ich also 'nur' noch das lösen:

http://fed.matheplanet.com/mprender.php?...1343&mixmod=mix

Also die Gamma-integrale und zusätlich:

http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=2513610&mixmod=mix

Diese Integral kann ich vll mit Maple lösen, aber per Hand ist das etwas schwierig. Gibt es keine Möglichkeit den Erwartungswert/Varianz auf die Standardnormalverteilung zurückzuführen? Bei der Chi-Quadrat Verteilung geht das ja noch recht leicht, aber wegen der Brüche bei F/T-Verteilung hab ich da Schwierigkeiten.

09.01.2007, 11:48

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Zitat:

Original von Haugg
Daran hatte ich jetzt auch gar nicht gedacht, aber die ZV sind doch unabhängig. Das Aufspalten des Erwartungswerts geht ja bei unabhängigen ZV aber wohl nur bei Multiplikation der ZV nicht bei Brüchen, oder?

Richtig: Umgeschrieben hieße das

$\begin{eqnarray*} E(U) \stackrel{?}{=} E(V)\cdot E\left[ \frac{U}{V} \right] \end{eqnarray*}$

und das wäre dann richtig, wenn $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{U}{V} \end{eqnarray*}$ unabhängig wären. Aber das ist i.a. nicht der Fall.

Nein, im vorliegenden Fall musst du anders vorgehen, direkt über die Verteilung der Quotienten-Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} \frac{U}{V} \end{eqnarray*}$ .

09.01.2007, 12:51

Haugg

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Hmm, was meinst du damit? Welche Methode jetzt?

Ich hab mal das Integral in Maple eingegeben, es kommt dann schon das richtige Ergebnis raus, aber selbst Maple braucht ne weile um das Integral zu lösen. Per Hand ist das wohl in endlicher Zeit (zumindest für mich) nicht lösbar.

09.01.2007, 13:56

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Du kannst die Geschichte durch partielle Integration angehen, und dann eine Rekursionsformel bzgl. $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ für dieses Integral entwickeln. Aber dazu braucht man zugegebenermaßen einiges Standvermögen und Durchhaltewillen. Augenzwinkern

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