geometrische Bedeutung der Richtungsableitung von Vektorfeldern

22.11.2011, 23:06	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
geometrische Bedeutung der Richtungsableitung von Vektorfeldern Hallo allerseits, mein grundlegendes Problem ist die geometrische Bedeutung der Lie-Klammer von Vektorfeldern auf diff'baren Mannigfaltigkeiten. Das Problem lässt sich ja im Grunde zurückführen auf die Lie-Ableitung eines Vektorfeldes bzgl. eines anderen (definiert über die zugehörigen Flüsse), da die Konzepte übereinstimmen. Okay, die Lie-Ableitung eines Flusses scheint nun im Wesentlichen die Richtungsableitung des Vektorfeldes bzgl. des anderen Vektorfeldes zu sein (zumindest im einfachen Fall des IR^n). Und das bringt mich an den Punkt, wo ich nicht weiterkomme: Was ist denn jetzt die Richtungsableitung eines Vektorfeldes geometrisch gesehen? Nehmen wir ein Beispiel im IR^2 (also bleibe ich bei IR^2-Notation): $\begin{eqnarray} U(x,y)=(1,1)^{tr} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V(x,y)=(4-4x-2y , xy)^{tr} \end{eqnarray}$ . Jetzt berechne ich $\begin{eqnarray} [U,V]=(-6,x+y)^{tr} \end{eqnarray}$ . Okay. Und was sagt mir das jetzt? Wenn ich mir das Bild des Vektorfeldes V anschaue, dann habe ich also mit der Lie-Ableitung an jeder Stelle die Richtungsableitung bzgl. des konstanten Vektorfeldes U genommen, i.e. die Richtungsableitung bzgl. des Vektors in Richtung (1,1) gebildet. Aber irgendwie sehe ich nicht, wie ich das resultierende Vektorfeld geometrisch mit V verknüpfen kann, bzw. wo die "Richtungsableitung" ist. Addendum: Natürlich kann ich sagen: Die Lieklammer sagt mir etwas aus, was passiert, wenn ich zwei Vektorfelder auf verschiedene Weise miteinander verkette - ist sie 0, dann "kommutieren" die Vektorfelder, was mir zwar tatsächlich ein bisschen Anschauung vermittelt, aber meine Frage nur bedingt beantwortet. Gruß MI
23.11.2011, 00:14	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Die Lie-Klammer kann man folgendermassen schreiben: Seien $\begin{eqnarray} \phi^t, \psi^t \end{eqnarray}$ die Flüsse von $\begin{eqnarray} X, Y \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} [X,Y](p) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm d t}\Bigg\|_{t=0} \; \phi^{\sqrt{t}}\circ \psi^{\sqrt{t}}\circ \phi^{-\sqrt{t}} \circ \psi^{-\sqrt{t}}(p) \end{eqnarray}$ (wobei evtl. [X,Y] durch [Y,X] zu ersetzen ist - es gibt hier unterschiedliche Konventionen) D.h. die Lie-Klammer gibt dir ein Mass dafür, wieviel du vom Startpunkt p wegdriftest, wenn du $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ rückwärts in Richtung des Flusses von Y gehst, dann entgegen der Richtung des Fluss von X und schliesslich entlang dem Fluss von Y, gefolgt vom Fluss von X. Nämlich $\begin{eqnarray} \phi^{\epsilon}\circ \psi^{\epsilon}\circ \phi^{-\epsilon} \circ \psi^{-\epsilon}(p) \approx p + \epsilon^2 [X,Y](p) \end{eqnarray}$ Interessant ist hier, dass man sich nur quadratisch in Epsilon wegbewegt. Wenn man geeignete Vektorfelder definiert, kann man damit herleiten, wieso es schwer ist seitwärts einzuparkieren. ^^ Zu finden ist das z.B. im Skript von Prof. D. Salamon hier (Beispiel 1.38 auf Seite 33). Added: Noch mehr Charakterisierungen für das Verschwinden von Lie-Klammern findest du in S. Lee "Introduction to Smooth Manifolds" (Proposition 18.5) Eine etwas ernsthaftere Anwendung davon, dass die Lie-Klammer [X,Y] verschwindet gdw. für die Flüsse gilt $\begin{eqnarray} \phi^t\circ \psi^s = \psi^s \circ \phi^t \end{eqnarray}$ findet man im Beweis des Frobenius Theorems im Buch von Lee (soweit ich mich erinnere). Gruss
23.11.2011, 10:29	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Erklärung! Ich habe heute auch noch mal gezeichnete Vektorfelder gesehen, das hat dann auch noch mal geholfen. Gruß MI

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