Abelsche Gruppen einer bestimmten Ordnung alle isomorph |
| 23.11.2011, 10:36 | xlynax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Abelsche Gruppen einer bestimmten Ordnung alle isomorph Hi, ich soll zeigen, dass alle abelschen Gruppen der Ordnung 35 isomorph zueinander sind. Meine Ideen: Ich wollte versuchen über die Anzahl der Elemente mit bestimmten Ornungen zur Lösung zu kommen. Es kann ja nur Elemente der Ordnung 1, 5, 7, 35 geben. Allerdings ist mir gerade nicht klar, wie ich die Anzahl der Elemente bestimmen kann und wozu ich die Voraussetzung, dass die Gruppen abelsch sein sollen einbringen soll... |
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| 23.11.2011, 11:07 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Abelsche Gruppen einer bestimmten Ordnung alle isomorph Elemente gleicher Ordnung müssen aufeinander abebildet werden. Die Information, dass es sich um abelsche Gruppen handelt ist glaub ich überflüssig, da jede Gruppe (soweit ich mich erinnern kann) der Ordnung 35 abelsch ist. Insgesamt sollten die Sylow Sätze weiterhelfen. Sei G eine Gruppe der Ordnung 35 (35=5*7). Jede 5-Sylow Untergruppe hat die Ordnung 5 und ist isomorph zu . Analog die 7-Sylow. Nun kann man zeigen, dass diese Untergruppen Normalteiler von G sind. Die Betrachtung des komplexprodukts führt schließlich auf das gewünschte Ergebnis. |
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| 23.11.2011, 13:31 | xlynax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Abelsche Gruppen einer bestimmten Ordnung alle isomorph Danke für deine Antwort! Zwar kenne ich die Sylowsätze, aber sie wurden nicht in der Vorlesung behandelt und daher darf ich sie wohl nicht benutzen. Es muss wohl noch anders gehen...!?! |
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| 23.11.2011, 14:39 | xlynax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich die Sylow-Sätze anwende, würde ich doch erhalten, dass es jeweils genau eine Untergruppe der Ordnung 1, 5, 7, 35 gibt, richtig? |
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| 23.11.2011, 14:47 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Untergrppe der Ordnung 1 erspart sich von selbst, das ist die triviale Gruppe, die nur das neutrale Element enthält, die Untergruppe der Ordnung 35 ist die Gruppe selbst, also auch trivial. Es ist also prinzipiell nur zu zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung 35 isomorph ist zu . |
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| 23.11.2011, 16:00 | xlynax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmmm... Muss ich dann explizit einen Isomorphismus finden? Es muss also und die Elemente müssen auf Elemente gleicher Ordnung abgebildet werden. Mein Problem ist, dass ich über G ja gar nichts weiß außer der Anzahl der Elemente. |
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| 24.11.2011, 00:26 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, du musst den Isomorphismus nicht konkret angeben. Betrachte doch einfach mal die Ordnungen der Elemente aus Z5 und Z7 und die Ordnungen der Elemente aus dem Produkt. |
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| 24.11.2011, 08:03 | xlynax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt 4 Elemente Ordnung 7, 6 Elemente Ordnung 5, 1 Element Ordnung 1 (Id) und der Rest müsste Ordnung 35 haben. Stimmt das soweit? Aber wie berechne ich die Ordnungen von G ohne Sylow? Und folgt aus der Gleichheit der Anzahl der Elemente mit gleicher Ordnung schon die Isomorphie? |
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| 24.11.2011, 19:23 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann es sein, dass du die Reihenfolge verwechselt hast, also die Anzahl der Elemente mit Ordnung 5 bzw. 7? Die Elemente der Form (0,a) mit haben alle die Ordnung 7, da alle Elemnte aus außer der 0 die Ordnung 7 haben und es existieren davon 6 Stück, damit haut das ja schon mal nicht hin, dass es nur 4 Elemente der Ordnung 7 gibt. Nun haben allle Elemente der Form (b,0), b ungleich 0 mit die Ordnung 5 (4 Stück). Da 5 und 7 teilerfremd sind haben alle anderen Elemente die Ordnung 35, außer natürlich der 0. Sie bestehen aus den Elementen (c,d) wobei c die Ordnung 5 hat und d die Ordnung 7, die Ordnung eines solchen Elements ist also kgV(5,7)=35. Nun existiert für jeden Teiler von 35 genau eine Untergruppe (in unserem Beispiel). Jetzt überlege dir einmal, wie eine Gruppe der Ordnung 35 ausschauen müsste, die nicht Isomorph ist zu unserer Gruppe. Welche Untergruppen gäbe es? |
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| 24.11.2011, 22:07 | xlynax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, natürlich... 
Diese dürfte dann keine echten Untergruppen haben oder mehrere der Ordnung 5 oder 7. |
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| 25.11.2011, 19:13 | xlynax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich versuche nun nochmal alles zusammen zufassen, was ich weiß: eine Gruppe der Ordnung 35 kann nur Untergruppen der Ordnung 5 oder 7 haben und auch nur Elemente der Ordnung 1 (nur id), 5, 7 und 35 in den Untergruppen der Ordnung 5 können nur id und Elemente der Ordnung 5 sein (genauso für Untergruppen der Ordnung 7) hat genau eine Untergruppe der Ordnung 5 und eine der Ordnung 7 und daher 6 Elemente Ordnung 7, 4 Elemente Ordnung 5, id mit Ordnung 1 und die restlichen mit Ordnung 35. |
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| 26.11.2011, 17:31 | xlynax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt es, dass jede Gruppe der Ordnung 35 zyklisch ist? |
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| 26.11.2011, 17:41 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist ja (fast) genau das was Du hier zeigen sollst. |
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