Grenzwert aus Wurzel

23.11.2011, 11:44	dark123	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert aus Wurzel hallo, kann mir jemand bei folgendem beispiel weiterhelfen? $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}n(\sqrt[n]{a}-1) \end{eqnarray}$ Laut meinem Rechner ist das Ergebnis ln(a). Mein Gedanke wäre das Ganze in eine Exponentialreihe umzuschreiben, nur komme ich da irgendwie nicht wieter. Oder übersehen ich hier etwas und es gibt eine einfache lösung dazu. lg
23.11.2011, 11:54	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}n(\sqrt[n]{a}-1) = \lim_{n \to \infty} \frac{a^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}} = \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x} \end{eqnarray}$ , zumindest sofern letzterer Grenzwert existiert. Und das tut er, was man entweder über L'Hospital oder gleich durch Deuten als Differenzenquotient erkennen kann.
23.11.2011, 13:55	dark123	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm ok aber wieso darf ich das x im letzten schritt gegen 0 gehen lassen. das versteh ich noch nicht so ganz. lg
23.11.2011, 16:51	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gegen unendlich geht, wohin konvergiert dann der Kehrwert $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ ?
23.11.2011, 16:57	dark123	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh alles klar vielen dank

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