Integralrechnung, Lebesgue-Integral

23.11.2011, 12:24

{Anne}

Integralrechnung, Lebesgue-Integral

Hallo,

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega:=(0,1) \end{eqnarray*}$ und sei die Funktion

$\begin{eqnarray*} f: \Omega \to \mathbb R\ , \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \quad \quad \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \mapsto \frac{1}{x}\sin\left ( \frac{1}{x} \right ) \end{eqnarray*}$

gegeben.

Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} L^1(\Omega) \end{eqnarray*}$ ist, d.h. nicht auf dem offenen Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ integrierbar ist, aber dass für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ die Funktion auf $\begin{eqnarray*} (\varepsilon,1) \end{eqnarray*}$ integrierbar ist. (Mit Integrierbarkeit ist immer Lebesgue-Integrierbarkeit gemeint.)

Also die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat ja bei 0 eine Singularität, daher auch ein starkes "Schwingen" vom negativen ins positive. Es gilt daher:
$\begin{eqnarray*} f^+:=\max(f,0)=\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^-:=\max(-f,0)=\infty \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht Lebesgue-integrierbar ist auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

Kann man das so kurz begründen oder soll ich das ausführlicher machen?

Nun zum zweiten Teil. Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ . Ich muss zeigen:

$\begin{eqnarray*} \int_\varepsilon^1 \frac{1}{x}\sin\left ( \frac{1}{x} \right ) \mathrm dx < \infty \end{eqnarray*}$

Das Problem ist, dass ich für die Funktion keine Stammfunktion angeben kann, da sie sehr schwierig zu integrieren ist. Da muss ich mich also anderweitig behelfen. Nur wie?

Ich kann ja wohl nicht schreiben, dass ich im Bronstein nachgeguckt habe, dass $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}\sin\left ( \frac{1}{x} \right ) \mathrm dx = \mathrm{-Si}\left ( \frac{1}{x} \right ) \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich könnte es natürlich wie folgt begründen: Wegen $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\varepsilon } < K_\varepsilon \end{eqnarray*}$ , also beschränkt mit einer positiven Zahl $\begin{eqnarray*} K_\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Daher gilt $\begin{eqnarray*} f^+=\max(f,0)=\frac{1}{\varepsilon }\cdot \sin\left (\frac{1}{\varepsilon } \right ) < \infty \end{eqnarray*}$ sowie
$\begin{eqnarray*} f^-=\max(-f,0)=-\frac{1}{\varepsilon }\cdot \sin\left (\frac{1}{\varepsilon } \right )> -\infty \end{eqnarray*}$

Und somit würde auch das obige Integral existieren.

Wäre das okay als Begründung?

Gruß,
Anne

23.11.2011, 16:54

juffo-wup

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RE: Integralrechnung, Lebesgue-Integral

Zitat:

Original von {Anne}
Also die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat ja bei 0 eine Singularität, daher auch ein starkes "Schwingen" vom negativen ins positive. Es gilt daher:
$\begin{eqnarray*} f^+:=\max(f,0)=\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^-:=\max(-f,0)=\infty \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht Lebesgue-integrierbar ist auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

Kann man das so kurz begründen oder soll ich das ausführlicher machen?

Ich würde es noch genauer begründen (also die Integrale nach unten abschätzen) für einen Beweis.

Zu dem Fall im Intervall $\begin{eqnarray*} [\varepsilon,0) \end{eqnarray*}$ : Als stetige Funktion ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}\cdot \sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ ja auf dem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [\varepsilon,1] \end{eqnarray*}$ beschränkt. Nun kannst du aus 'messbar und beschränkt auf einer Menge von beschränktem Maß' Integrierbarkeit folgern oder aus der Riemann-Integrierbarkeit (je nachdem was du voraussetzen kannst). Man kann natürlich auch zuerst für $\begin{eqnarray*} f_{+} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{-} \end{eqnarray*}$ getrennt schließen (und feststellen dass das Integral jeweils endlich ist), wenn eure Definition das so vorschreibt.

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