rekursive Folge - Konvergenz zeigen und Grenzwert bestimmen

23.11.2011, 14:31	blub.	Auf diesen Beitrag antworten »
rekursive Folge - Konvergenz zeigen und Grenzwert bestimmen Meine Frage: Hallo, ich sitze vor folgender Aufgabe: Die Folge $\begin{eqnarray} (x_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ werde rekursiv definiert durch $\begin{eqnarray} x_{n+1} = \frac{1}{k} \left(\left(k-1\right)x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{k-1} } \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n, k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a, x_{1}\in \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1} > 0 \end{eqnarray}$ a) zeige dass die Folge konvergent ist b) berechne ihren Grenzwert Meine Ideen: a) muss ich das mit der Definition zeigen? für eine Folge $\begin{eqnarray} (x_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ müsste dann ja $\begin{eqnarray} \|x_{n}-x\|<\epsilon \end{eqnarray}$ gelten. Bei "normalen" Folgen bekomme ich das eigentlich hin, hierbei scheitere ich aber. b) Für den Grenzwert (ich habe jetzt mal vorausgesetzt dass die Folge konvergiert) bin ich so vorgegangen $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \left(S_{n+1} - S_{n}\right)= ... = a \end{eqnarray}$
23.11.2011, 14:37	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: rekursive Folge - Konvergenz zeigen und Grenzwert bestimmen Häufig ist es bei rekursiv definierten Folgen so, dass aus Beschränktheit und Monotonie die Konvergenz gefolgert wird. Wenn das geschehen ist kann meistens mittels Grenzwertsätzen und unter Ausnutzung der Tatsache, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}x_n=:x \end{eqnarray}$ der Grenzwert explizit bestimmt werden. In der jüngeren Vergangenheit ist ein Spezialfall (für k=2) dieser Folge hier ausgiebig bearbeitet worden. Die Boardsuche sollte da weiterhelfen.
28.11.2011, 13:49	T-Pain	Auf diesen Beitrag antworten »
wie würde man denn hier weiterverfahren?

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