Definition von Mengen - Problem

23.11.2011, 17:19	Sunny089	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition von Mengen - Problem Meine Frage: Hallo Leute! Ich bräuchte dringend Eure Hilfe zu zwei Aufgaben: Aufgabe 1) Gegeben die Menge M = {1, 2, 3, 4} sowie die folgenden Definitionen der Mengen Mi, Pi und Qi für i = 1...5: Mi = {x $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ M \| \|x\| < i}, Qi = {x $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ M \| i $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ x} und Pi = $\begin{eqnarray} \bigcup \end{eqnarray}$ (Mk $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ Qk) Bei der Vereinigungsmenge Pi sind noch Grenzen gegeben. Es soll bei k=1 bis i laufen ( also in diesem Fall bis 5). Aufgabe 2) Zeigen Sie, dass A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ C = leere Menge a) keine hinreichende Bedingung ist für (A $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ C) $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ B = (A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ B) \ C b) keine notwendige Bedingung ist für (A $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ C) $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ B = (A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ B) \ C. Meine Ideen: Bei der ersten Aufgabe habe ich zu den Mengen von M folgendes: M1 = {leere Menge} M2 = {1} M3 = {1,2} M4 = {1,2,3} M5 = {1,2,3,4} Bei den Mengen von Q bin ich mir nicht sicher. x soll dabei Teilmenge von M sein mit der Bedingung, dass i ein Element von x sein soll. Was genau ist damit gemeint? Ich habe mir zuerst folgendes gedacht: Q1 = {2,3,4} Q2 = {1,3,4} Q3 = {1,2,4} Q4 = {1,2,3} Q5 = {1,2,3,4} Ich glaube aber das ist falsch oder? Da ich mir bei der Bildung der Mengen von Q nicht sicher bin kann ich die Vereinigung von dem Schnitt (M geschnitten Q) nicht bilden bzw. wenn meine Vermutung von oben falsch ist ist das Ergebnis sowieso falsch. Bei der 2 Aufgabe bin ich total verwirrt. Ich habe mir mittels 2er Venn-Diagramme versucht die Mengen (A $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ C) $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ B = (A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ B) \ C zu veranschaulichen. Mich verwirrt aber total das " = " zwischen den beiden Mengen, denn diese sind einfach nicht gleich ??? Wäre super nett, wenn mir einfach mal helfen könnte!!
23.11.2011, 17:49	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition von Mengen - Problem Hallo Sunny, Zu 1): Die Elemente von $\begin{eqnarray} M_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q_i \end{eqnarray}$ müssen Mengen sein. Zum Beispiel besteht $\begin{eqnarray} M_3 \end{eqnarray}$ aus allen Teilmengen von M, die eine geringere Mächtigkeit als drei haben, d.h. weniger als drei Elemente haben. Also $\begin{eqnarray} M_3=\{\{1\},\emptyset,...\} \end{eqnarray}$ Zu 2a): Es gibt durchaus Mengen, die die Gleichheit erfüllen. Du sollst zeigen, dass die Gleichheit nicht allgemein gültig ist. Also solltest Du ein konkretes Gegenbeispiel angeben. Gruß, Reksilat.
23.11.2011, 17:58	Sunny089	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition von Mengen - Problem also hieße das konkret für die Mengen M: M1 = {{leere Menge}} M2 = {{leere Menge},{1}} M3 = {{leere Menge},{1},{2}} oder M2 = {{leere Menge},{1},{2},{1,2}} ?? Die Bildung der Mengen von Q - habe ich irgendwie immernoch nicht ganz verstanden Finde ich ein konkretes Beispiel für die Aufgabe 2 durch ausprobieren oder wie geh ich an die Aufgabe heran?
23.11.2011, 18:12	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition von Mengen - Problem Bei der Bildung der $\begin{eqnarray} M_i \end{eqnarray}$ geht es nur um die Mächtigkeit der Teilmengen. Insofern müssen natürlich auch {2},{3},... in $\begin{eqnarray} M_2 \end{eqnarray}$ liegen. Bei $\begin{eqnarray} M_3 \end{eqnarray}$ analog. Und $\begin{eqnarray} Q_1=\{X\subseteq M\|1\in X\} \end{eqnarray}$ . Der erste Teil der Klammer sagt uns, dass die Elemente von $\begin{eqnarray} Q_1 \end{eqnarray}$ wieder Teilmengen von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ sind, d.h. man geht quasi alle Teilmengen von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ durch und überprüft, welche davon die Bedingung, die im hinteren Teil der geschweiften Klammer gegeben ist, erfüllen. Genau diese sind dann in $\begin{eqnarray} Q_1 \end{eqnarray}$ enthalten. Bei 2) musst Du eben nach Deinem Gefühl ein wenig rumprobieren. Mehr als ein Element pro Menge brauchst Du da auch nicht. Die Veranschaulichung am Venn-Diagramm sollte Dir auch zeigen, wo der Knackpunkt liegt.
24.11.2011, 07:51	Sunny089	Auf diesen Beitrag antworten »
also wären das bei Q1 folgende: Q1= {{1},{1,2},{1,3}{1,4}{1,2,3}{1,2,4}{1,3,4}{1,2,3,4}} ? Quasi alle Teilmengen von M bei denen die 1 vorkommt - oder ist das falsch?
24.11.2011, 09:38	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das passt so.
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