DGL per Potenzreihenansatz: gemacht - aber wie weiter?

23.11.2011, 18:53

msc77777

DGL per Potenzreihenansatz: gemacht - aber wie weiter?

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich bin bei einer Aufgabe gestrandet.
Betrachte hom. lin. DGL 2. Ordn.
$\begin{eqnarray*} \eta''-\frac{x+5}{x}\eta'+\frac{3}{x}\eta=0,\;x>0 \end{eqnarray*}$

Nun soll man ein Fundamentalsystem zu der DGL finden, indem man für eta_1 einen Potenzreihenansatz macht.

Gesagt getan: einsetzen und umformen, und es steht dann da:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}[a_{k+1}(k+1)(k-5)+a_k(3-k)]x^k=5a_0-3a_1 \end{eqnarray*}$

Nun ist die Fahrt zuende. Wie soll ich die Koeffizienten a finden? Komme echt nicht weiter!

Meine Ideen:
Ich hab mal versucht, die Reihe auszuschreiben und daraus was zu schliessen. aber ich peils total nicht...

23.11.2011, 19:33

Kimi_R

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RE: DGL per Potenzreihenansatz: gemacht - aber wie weiter?
Da es eine homogene DGL ist kannst du dein a_0 prinzipiell beliebig wählen
Denn wenn y die DGL löst, dann auch c*y für beliebiges c

Du weißt das die rechte Seite Null sein muss, weil links nur Terme in Abhängigkeit von x stehen
Du weißt das die linke Seite Null sein muss, da rechts keine Terme in Abhängigkeit von x stehen
("Koeffizientenvergleich")

23.11.2011, 20:32

msc77777

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RE: DGL per Potenzreihenansatz: gemacht - aber wie weiter?
Ja, a_0 ist wählbar. Weiter in der Aufgabe steht auch, dass eta_1 so gewählt werden soll, dass a_0=60.

Das Konzept des "Koeffizientenvergleichs" hab ich wohl nicht so ganz verstanden. Wie will ich dann unendliche viele Koeffizienten vergleichen?

Ich mach das mal, was du geschrieben hast.
Ich setze mal die linke Seite sowie die rechte Seite gleich null und setze a_0=60. Also

$\begin{eqnarray*} 5a_0-3a_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}[a_{k+1}(k+1)(k-5)+a_k(3-k)]x^k=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_0=60 \Rightarrow a_1=100 \end{eqnarray*}$

Nun könnte ich noch a_0 und a_1 aus der Summe nehmen, aber was nützt mir das dann? Dann steh ich doch immernoch mit unendlich vielen unbekannten Koeffizienten da.

23.11.2011, 20:38

Kimi_R

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RE: DGL per Potenzreihenansatz: gemacht - aber wie weiter?

Zitat:

Original von msc77777
Das Konzept des "Koeffizientenvergleichs" hab ich wohl nicht so ganz verstanden. Wie will ich dann unendliche viele Koeffizienten vergleichen?

Alle Polynome haben die Gestalt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_k*X^k \end{eqnarray*}$ , wobei Polynome irgendwann abbrechen, d.h. es gibt eine natürliche Zahl, ab der die a_k's alle Null sind.

Ferner gilt
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_k*X^k = \sum\limits_{k=0}^\infty b_k*X^k \Leftrightarrow a_k = b_k \; \forall k \end{eqnarray*}$

Nun hast du ja auch eine Gleichheit von Polynomen dastehen.

Edit: Vielleicht noch kurz ein Vergleich. Wir schauen die Koeffizienten zu X^0 an
Links steht 0, rechts steht 5*a_0 - 3*a_1. Das heißt

$\begin{eqnarray*} 0 = 5*a_0 - 3*a_1 \end{eqnarray*}$

23.11.2011, 21:18

msc77777

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RE: DGL per Potenzreihenansatz: gemacht - aber wie weiter?
Ich denk, ich weiss was du vermitteln willst.

$\begin{eqnarray*} 3a_1-5a_0+\sum_{k=1}^{\infty}[a_{k+1}(k+1)(k-5)+a_k(3-k)]x^k=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \underbrace{(3a_1-5a_0)}_{b_0}x^0+\underbrace{(-8a_2+2a_1)}_{b_1}x^1+\underbrace{(-9a_3+a_2)}_{b_2}x^2+\underbrace{(-8a_4+0a_3)}_{b_3}x^3+\underbrace{(-5a_5-a_4)}_{b_4}x^4+...=0 \end{eqnarray*}$

und damit muss gelten $\begin{eqnarray*} b_0=b_1=...=0 \end{eqnarray*}$

also mit a_0=60 folgt dann
a_1=100
a_2=25
a_3=25/9
a_4=0
a_5=0

Ist das alles korrekt so?
Löst zwar meine Dgl nicht, aber ich hoffe trotzdem, das ich das nun richtig verstanden hab.
Der Rechenfehler lässt sich dann schnell noch finden, wenn systematisch alles stimmt.

23.11.2011, 22:39

Kimi_R

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RE: DGL per Potenzreihenansatz: gemacht - aber wie weiter?

Zitat:

Original von msc77777
Ich denk, ich weiss was du vermitteln willst.

$\begin{eqnarray*} 3a_1-5a_0+\sum_{k=1}^{\infty}[a_{k+1}(k+1)(k-5)+a_k(3-k)]x^k=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \underbrace{(3a_1-5a_0)}_{b_0}x^0+\underbrace{(-8a_2+2a_1)}_{b_1}x^1+\underbrace{(-9a_3+a_2)}_{b_2}x^2+\underbrace{(-8a_4+0a_3)}_{b_3}x^3+\underbrace{(-5a_5-a_4)}_{b_4}x^4+...=0 \end{eqnarray*}$

und damit muss gelten $\begin{eqnarray*} b_0=b_1=...=0 \end{eqnarray*}$

also mit a_0=60 folgt dann
a_1=100
a_2=25
a_3=25/9
a_4=0
a_5=0

Ist das alles korrekt so?
Löst zwar meine Dgl nicht, aber ich hoffe trotzdem, das ich das nun richtig verstanden hab.
Der Rechenfehler lässt sich dann schnell noch finden, wenn systematisch alles stimmt.

Oberer Teil stimmt.
Wenn die DGL nicht gelöst wird, dann hast du entweder hier ein Rechenfehler begangen oder weiter oben schon beim Aufstellen der "Polynomgleichung"

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