Matrixexponentialfunktion: Verstehe eine Implikation nicht

24.11.2011, 13:04

Hansen38

Matrixexponentialfunktion: Verstehe eine Implikation nicht

Hallo Leute,

ich habe eine Frage:

Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \in \mathbb R^{n \times m} \end{eqnarray*}$

Es gilt dann für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} x^{\top}e^{At}B = 0 \text{ für alle } t \in [0,T] \iff x^{\top}A^{\nu}B = 0 \text{ für alle } \nu \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$

Ich verstehe die Richtung $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht wirklich.
Kann mir jemand helfen bitte?

Meine Idee: Gegenannahme: Sei für ein $\begin{eqnarray*} \nu \in \mathbb N_0: x^{\top}A^{\nu}B \ne 0 \end{eqnarray*}$ .

Es ist auch $\begin{eqnarray*} e^{At} = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{A^j t^j}{k!} \end{eqnarray*}$

Aber ich komme nicht weiter unglücklich

24.11.2011, 17:18

Gast12221

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RE: Matrixexponentialfunktion: Verstehe eine Implikation nicht
Also die andere Richtung ist klar. Aber diese ist in der Tat
ziemlich schwer verwirrt

Kann man vielleicht die absolute Konvergenz der Exponentialreihe
ausnutzen?

25.11.2011, 18:05

Hansen38

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RE: Matrixexponentialfunktion: Verstehe eine Implikation nicht
Richtig, die eine Richtung ist leicht, die andere leider überhaupt nicht unglücklich

Kann mir keiner helfen?

25.11.2011, 19:46

Ungewiss

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Unter Vorbehalt würde ich die linke Seite sukzessive ableiten und t=0 setzen. Unter Vorbehalt, da ich nicht weiss, ob
$\begin{eqnarray*} \left(x^Te^{At}B\right)'=x^TAe^{At}B \end{eqnarray*}$ gilt.

25.11.2011, 22:05

Hansen38

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Zitat:

Original von Ungewiss
Unter Vorbehalt würde ich die linke Seite sukzessive ableiten und t=0 setzen. Unter Vorbehalt, da ich nicht weiss, ob
$\begin{eqnarray*} \left(x^Te^{At}B\right)'=x^TAe^{At}B \end{eqnarray*}$ gilt.

Vielen Dank für die Antwort !!

Das hört sich sehr gut an!! Deine Lösung hört sich sehr gut an.
Ich überlege mal, ob $\begin{eqnarray*} \left(x^Te^{At}B\right)'=x^TAe^{At}B \end{eqnarray*}$ gilt.
x und B sind ja konstant, aber ich schaue mir das genau an!

Grüße! Prost

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