Holomorphe Funktionen und analytische Fortsetzung |
| 24.11.2011, 15:48 | Maditat | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Holomorphe Funktionen und analytische Fortsetzung Ich möchte gerne wissen, ob ich das Thema holomorphe Funktionen und analytische Fortsetzung richtig verstanden habe. Eine holomorphe Funktion lässt sich immer als Potenzreihe darstellen. Analytisch ist eine Funktion, die lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist. Meine Ideen: Wenn sich eine reelle Funktion als Potenzreihe darstellen lässt, lässt sie sich analytisch fortsetzen? Und weil sich jede holomorphe Funktion als Potenzreihe darstellen lässt, ist sie auch analytisch? Bedeutet analytische Fortsetzung dann "nur", dass der Definitionsbereich von Funktionen auf den komplexen Zahlenbereich erweitert werden? |
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| 24.11.2011, 16:21 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zu ersten Frage: Zumindest auf einem Kreis, dessen Radius gerade der Konvergenzradius ist. Und ja, jede holomorphe Funktion ist auf jeder Kreisscheibe, die ganz im Definitionsgebiet liegt, auch analytisch. In der Funktionentheorie nutzt man die Begriffe analytisch und holomorph deswegen auch desöfteren synonym. Analytische Fortsetzung muss nicht ausschließlich die Fortsetzung einer reellen Funktion ins Komplexe bedeuten. Ganz allgemein kann damit jede beliebige "Ausgangsmenge" gemeint sein. |
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| 24.11.2011, 16:27 | Maditat | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also um den Definitionsbereich einer -in meinem Fall- reellen Funktion f auf auszuweiten, zeige ich, dass sich f als Potenzreihe darstellen lässt und konvergiert? |
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| 24.11.2011, 16:31 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das wäre eine Möglichkeit. |
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