Lp-Konvergenz

24.11.2011, 16:21

Duedi

Lp-Konvergenz

Hallo Board,
ich habe hier Schwierigkeiten mit der Lp-Konvergenz einer Funktionenfolge:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei}\, f:[S,T]\to\mathbb R\, \text{eine beschränkte Funktion und}\, f_n(t):=\int_S^t n e^{-n(t-\tau)}f(\tau)\mathrm d \tau \, \text{für} \, n\in \mathbb N. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Man zeige:}&&\text{a)}\quad\, \text{Die}\, f_n \, \text{sind gleichmäßig beschränkt}\\<br /> &&\text{b)}\quad f_n(t) \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} f(t)\, \forall t\in [S,T]\\<br /> &&\text{c)}\quad f_n \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} f \, \text{in} \, L^p(S,T)\, \forall p>1<br /> \end{eqnarray*}$

Die Teilaufgabe a) konnte ich mühelos zeigen. Zur b) wurde uns gesagt, dass das wohl so nicht stimmt und wir sie eventuell gar nicht zeigen können. Mein Problem hierbei ist die Teilaufgabe c). Mir ist klar, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f_n(t) \end{eqnarray*}$ sich "Dirac-Maß-artig" der Funktion f anschmiegt. Das würde mir aber einen punktweisen Grenzwert erklären (die b) soll aber falsch sein). Aber zur Lp-Konvergenz habe ich keine besondere Idee:

Zu zeigen ist ja, dass $\begin{eqnarray*} \int_S^T |f_n(t)|^p \mathrm d t \longrightarrow \int_S^T |f(t)|^p \mathrm d t \end{eqnarray*}$

Es gilt nun nach Definition der Folge: $\begin{eqnarray*} \int_S^T |f_n(t)|^p \mathrm d t = \int_S^T \left | \int_S^t n e^{-n(t-\tau)} f(\tau) \mathrm d \tau \right|^p \mathrm d t \end{eqnarray*}$

Damit also: $\begin{eqnarray*} \int_S^T |f_n(t)|^p \mathrm d t - \int_S^T |f(t)|^p \mathrm d t = \int_S^T \left[\left | \int_S^t n e^{-n(t-\tau)} f(\tau) \mathrm d \tau \right|^p -|f(t)|^p\right]\mathrm d t \end{eqnarray*}$

Und wie man jetzt weitermacht, weiß ich nicht. Ich würde gerne den Betrag in das innerste Integral mittels einer Abschätzung reinziehen, da stört aber der p-Exponent. Und Hölder kann ich auch nicht anwenden, weil ich dann in die falsche Richtung abschätzen würde.

Weiß jemand Rat?

Viele Grüße,
Duedi

03.12.2011, 11:56

gonnabphd

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Hi,

Ist zwar schon ne ganze Weile her (und daher vermutlich schon erledigt), aber falls nicht:

Zitat:

Zu zeigen ist ja, dass $\begin{eqnarray*} \int_S^T |f_n(t)|^p \mathrm d t \longrightarrow \int_S^T |f(t)|^p \mathrm d t \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht. Sondern muss man zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \|f -f_n\|_p = \left(\int_S^T |f(t) - f_n(t)|^p \, dt\right)^{1/p} \to 0 \end{eqnarray*}$

Bzw. äquivalent dazu

$\begin{eqnarray*} \int_S^T \left|f(t) - \int_S^t f(\tau)ne^{-n(t-\tau)} \; d\tau \right|^p \; dt \to 0 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} \int_{t-\epsilon}^t ne^{-n(t-\tau)} \; d\tau = - e^{n(t-\tau)}|_{t-\epsilon}^t = 1 - e^{-n\epsilon} \to 1 \end{eqnarray*}$ sowie
$\begin{eqnarray*} \int_S^{t-\epsilon} ne^{-n(t-\tau)} \; d\tau = - e^{n(t-\tau)}|_S^{t-\epsilon}= e^{-n\epsilon} - e^{-n(t-S)} \to 0 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und der Beschränktheit von f gibt es jedoch für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein genügend grosses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \int_S^T \left|f(t) - \int_S^t f(\tau)ne^{-n(t-\tau)} \; d\tau \right|^p \; dt \le \epsilon + \int_S^T \left|\int_{t-\epsilon}^t (f(t) - f(\tau))ne^{-n(t-\tau)} \; d\tau \right|^p \; dt \end{eqnarray*}$

Wenn du nun nocheinmal die Beschränktheit von f ausnutzt, dann kannst du das ganze geeignet abschätzen.

Die punktweise Konvergenz bekommst du ganz ähnlich, falls f stetig in t ist.

Gruss Wink

03.12.2011, 12:15

Duedi

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Super! Danke für deine Hilfe!

03.12.2011, 12:46

gonnabphd

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Zitat:

Wenn du nun nocheinmal die Beschränktheit von f ausnutzt, dann kannst du das ganze geeignet abschätzen.

Das stimmt doch nicht ganz, entschuldige. Beweise es vielleicht am besten erst mal für stetiges f (man braucht sowas wie

$\begin{eqnarray*} |f(t) - f(\tau)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |t-\tau|<\delta \end{eqnarray*}$

in meinem Ansatz)

und für den allgemeinen Fall kannst du f durch stetiges g beliebig gut in der L^p Norm annähern und dann

$\begin{eqnarray*} \|f - f_n\|_p \le \|f-g\|_p + \|g-g_n\|_p + \|g_n - f_n\|_p \end{eqnarray*}$

benutzen. Wobei $\begin{eqnarray*} g_n \end{eqnarray*}$ analog zu $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ definiert sei.

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