Komplexe Zahlen: Spezielle Funktionen

24.11.2011, 23:44

pupil

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Komplexe Zahlen: Spezielle Funktionen

Meine Frage:
Hey ich habe mit folgender Fragestellung Probleme:

Die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z1=j\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist Lösung der Gleichung
$\begin{eqnarray*} 2e^{2z}-je^{z}+je^{-z}=0 \end{eqnarray*}$ .
Berechnen Sie für alle Lösungen z aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ dieser Gleichung jeweils die Zahl w:=e^(-z) in Normaldarstellung.

Meine Ideen:
Ich weis dass ich mit Substitution rechnen muss, sowie die eulersche darstellung in die polarkoordinatendarstellung umwandeln muss. Nur das e^(-z) macht mir bei der Substitution Probleme. Denn wenn dies nicht wäre hätte ich eine wuderbare quadratische Glg und somit nicht. Würde mich über einen Tipp freuen bzw weiteren Ansatz.
mfg matze

26.11.2011, 12:05

mYthos

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Eben gerade die Angabe einer der drei Lösungen der angegebenen Gleichung hilft dir, die nach nach der Substituin entstehende Gleichung 3. Grades zu lösen.
Substituiere also

$\begin{eqnarray*} e^z = u \end{eqnarray*}$

Damit ensteht

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2u^3 - ju^2 + j = 0 \end{eqnarray*}$

Mittels der bekannten Lösung $\begin{eqnarray*} z_1 = j \frac{\pi} 2 \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} u_1 = j \end{eqnarray*}$ und daher können wir mittels Polynomdivision zu einer quadratischen Gleichung gelangen.

$\begin{eqnarray*} (2u^3 - ju^2 + j) : (u - j) = 2u^2 + \ldots \end{eqnarray*}$

Diese Division geht sich natürlich restlos aus, denn sonst wäre z1 bzw u1 ja keine Lösung.
Die quadratische Gleichung liefert nun die restlichen 2 Lösungen, der Rest ist für dich wahrscheinlich einfach.

mY+

26.11.2011, 15:12

pupil

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-
Hey Danke das hat mir sehr weitergeholfen, aber ich versteh nur den Schritt noch nicht wie man mittels der bekannten Lösung darauf kommt, dass u1 = j ist. Über eine kurze Erläuterung würde ich mich sehr freuen.
mfg und vielen Dank im voraus
matze

26.11.2011, 15:19

mYthos

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Es ist eine Lösung angegeben, nämlich $\begin{eqnarray*} z_1 = j \frac{\pi}2 \end{eqnarray*}$ . Da nun für
$\begin{eqnarray*} u = e^z \end{eqnarray*}$

gesetzt wurde, ist $\begin{eqnarray*} u_1 = e^{j \frac{\pi} 2} \end{eqnarray*}$ und dies solltest du allemal als $\begin{eqnarray*} u_1 = e^{j \frac{\pi} 2} = j \end{eqnarray*}$ berechnen können.

mY+

26.11.2011, 16:16

pupil

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-
Also ich hab jetzt für $\begin{eqnarray*} w_{1}=-j;<br /> w_{2}=\frac{\sqrt{7}}{4}+j; <br /> w_{3}=-\frac{\sqrt{7}}{4}+j \end{eqnarray*}$ (siehe Fragestellun) rausbekommen. Ist das soweit in Ordnung, weil ich bin mir bei der Rücksubstitution nicht ganz sicher.
mfg matze

26.11.2011, 17:19

mYthos

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Stimmt so auch nicht. Die Ergebnisse sollten zunächst für u sein: Für u kommt anstatt +j beide Male -j/4, die Realteile stimmen. Für w ist schließlich der Kehrwert von u zu bestimmen. Du musst also z nicht explizit berechnen.

mY+

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26.11.2011, 21:28

pupil

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-
Ok also ich hab jetzt diese Ergeniss: $\begin{eqnarray*} w_{1}=j^{-1}; w_{2}=-\frac{4}{\sqrt{7}-j};w_{3}=\frac{4}{\sqrt{7}-j} \end{eqnarray*}$ .
Sollte dies immer noch nicht stimme, dann habe ich das mit dem Umwandeln von u1, u2 und u3 in e^z bzw. in e^(-z) wohl immer noch nicht ganz verstanden und würde somit nochmals um eine kurze Erläuterung dieses Vorgehens bitten.
mfg und Danke
matze

26.11.2011, 21:43

mYthos

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Nein, das stimmt noch immer nicht. Schreibe zuerst mal die Lösungen für u. Dann erst bilde von ihnen den Kehrwert. Wenn du eine komplexe Zahl im Nenner hast, musst du den Nenner rational machen.

$\begin{eqnarray*} j^{-1} = \frac 1 j \end{eqnarray*}$ bleibt auch nicht so stehen, das kann ebenso weiter umgeformt werden (erweitere mit j).

mY+

26.11.2011, 23:50

pupil

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-
ok aber jetzt ^^?
$\begin{eqnarray*} w_{1}=-j ;w_{2}=-\frac{2}{3}\sqrt{7}-\frac{2}{3}j; w_{2}=\frac{2}{3}\sqrt{7}+\frac{2}{3}j \end{eqnarray*}$
Ansonsten liegt der Fehler bei mir bei der Rücksubstitution von u zu e^z !

Ergebnisse bei mir für u sind : $\begin{eqnarray*} u_{1}=j ;u_{2}=-\frac{\sqrt{7}}{4}-j; u_{3}=\frac{\sqrt{7}}{4}-j \end{eqnarray*}$

mfg

27.11.2011, 01:14

mYthos

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w1 = -j ist jetzt richtig, die anderen nicht.
Die u2,3 stimmen schon nicht. Ich habe dir schon einmal geschrieben, dass statt j -> j/4 zu stehen hat.

mY+

27.11.2011, 11:37

pupil

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-
Uh ja stimmt sehr dummer Fehler von mir.
Hab jetzt für $\begin{eqnarray*} w_{2}=-\frac{4}{3}\sqrt{7}+\frac{4}{3}j; w_{3}=\frac{4}{3}\sqrt{7}+\frac{4}{3}j \end{eqnarray*}$
und ich hoffe dass ich diesmal nix verbockt hab^^!
Also danke dir mYthos.
mfg matze

28.11.2011, 22:45

pupil

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-
so nach weiterem probieren hab ich jetzt für $\begin{eqnarray*} w_{2}=\sqrt{7}+j ; w_{3}=\sqrt{7}-j \end{eqnarray*}$ . Ich hoffe ich bin jetzt ml erfolgreich ^^ !
mfg

28.11.2011, 22:53

mYthos

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Noch nicht ganz! Es fehlen noch überall die Halben (also alles durch 2)!

mY+

28.11.2011, 23:27

pupil

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-
Wiso alles durch 2? ich hab jetzt einfach die kehrwerte von u1, u2 und u3 genommen. wo müsst ich da noch durch 2 teilen ?
mfg

29.11.2011, 00:45

mYthos

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Der Kehrwert von u2 beispielsweise ist

$\begin{eqnarray*} w_2 = \frac 4 {\sqrt 7 - j} \end{eqnarray*}$

Nun erweitern wir den Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl, dann kommt etwas mit 4/8, was man zu 1/2 kürzen kann ...

mY+

29.11.2011, 10:15

pupil

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-
Ah jetzt is der Knoten geplatzt !
Vielen vielen Dank mYthos.

29.11.2011, 11:47

chrisss

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Wie kommt ihr denn darauf?

$\begin{eqnarray*} e^z = u \end{eqnarray*}$

Damit ensteht

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2u^3 - ju^2 + j = 0 \end{eqnarray*}$

Meiner Ansicht nach wäre das substituiert eher 2u^2 - ju + ju^-1=0 ?

29.11.2011, 12:54

mYthos

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Und nun?
Was machst du jetzt mit dem u^(-1) da hinten? Das ist ja 1/u und mit dem musst multiplizieren .. Big Laugh

Big Laugh

mY+

29.11.2011, 13:18

chrisss

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Zitat:

Original von mYthos
Und nun?
Was machst du jetzt mit dem u^(-1) da hinten? Das ist ja 1/u und mit dem musst multiplizieren .. Big Laugh

Big Laugh

mY+

Oh verdammt das is so einfach smile

smile

Ich hab mich so auf die komplexen Zahlen da jetzt fokussiert, dass ich die einfachsten Rechenregeln übershene habe.

Okay vielen Dank.

30.11.2011, 17:18

pupil

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-
@ mYthos :
Hi ich hab noch ne andere Frage :
Kann man eigentlich im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ wenn man 3 vektoren gegeben hat einen 4 vektor bilden, der auf all den 3 gegebenen vektoren senkrecht steht?
mfg matze

01.12.2011, 00:06

mYthos

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Selbstverständlich dann, wenn die gegebenen drei Vektoren eine bestimmte Lage haben.
Welche, das kannst du selbst herausfinden, oder?

mY+

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