detAn=n+1 bei nxnMatrizen

25.11.2011, 05:47	OrangeneMusik	Auf diesen Beitrag antworten »
detAn=n+1 bei nxnMatrizen Meine Frage: Diesmal soll $\begin{eqnarray} n\in Z_{>0} \end{eqnarray}$ sein wobei $\begin{eqnarray} A_{n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (A_{n})_{i,j}= \left\{2 wenn i=j, \\ 1 wenn \|i-j\|=1, \\0 anderenfalls,\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{n} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & ... & 0 & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Jetzte soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} det A_{n} = n+1 \end{eqnarray}$ ist...
25.11.2011, 08:44	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: detAn=n+1 bei nxnMatrizen Das geht per Induktion! Im Induktionsschritt entwickelst Du zunächst nach der ersten Spalte und dann nach der ersten Zeile und erhältst $\begin{eqnarray} \det(A_{n+1})=2\det(A_n)-\det(A_{n-1}) \end{eqnarray}$ worauf sich die IV vortrefflich anwenden lässt.
27.11.2011, 12:48	OrangeneMusik	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: detAn=n+1 bei nxnMatrizen unabhängig von dieser website bin ich auf genau das gleiche ergebnis gekommen - aber zählt das nicht nur, wenn n ungerade ist? egal - dann habe ich diese aussage - und wie kann ich die dann umformen, dass dann detA=n+1 ist?
27.11.2011, 17:47	OrangeneMusik	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: detAn=n+1 bei nxnMatrizen welche Vorraussetzung sollte ich denn anwenden? im moment habe ich $\begin{eqnarray} <br /> det(A_{n+1} ) = 2\times det(A_{n}) _{n,n}- det(A_{n} )_{n,n-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow det(A_{n+1} ) =2det(2)-det(0) \end{eqnarray}$ stimmt das denn überhaupt? Dann komme ich aber auch nicht mehr auf $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray*}$ auf der rechten seite...
06.01.2012, 07:28	OrangeneMusik	Auf diesen Beitrag antworten »
okidoki: neue Lösung: Beweis: IA: $\begin{eqnarray} n=1, det(A_1)=det(2)=2=n+1 \end{eqnarray}$ IV: sei $\begin{eqnarray} det(A_n)=n+1, det(A_{n-1})=n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ fest vorgegeben. IS: $\begin{eqnarray} det(A_{n+1})=2 \times det(A_n)-1 \times det\begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & ... & alles 0 \\ & &... & ... & ... \\ alles 0 & & & ...& 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 2 \times det(A_n)-det(A_{n-1}) \end{eqnarray}$ = (durch IV) $\begin{eqnarray} = 2 \times (n+1)-n= 2n+2-n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = n+1 \end{eqnarray}$ Soii - noch ein schönes Mathe-Jahr ((: Lg

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