detA = Qn i=1 Qi10485761 j=1(xi 1048576 xj)

25.11.2011, 06:56	OrangeneMusik	Auf diesen Beitrag antworten »
detA = Qn i=1 Qi10485761 j=1(xi 1048576 xj) Meine Frage: $\begin{eqnarray} n\in Z_{>0} x_{1}, x_{2} , ... , x_{n} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ A ist nxn Matrix mit $\begin{eqnarray} A_{i,j} = x_{i}^{j-1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 1 & x_{1} & x_{\frac{2}{1} } & ... & x_{\frac{n-1}{1} } \\ 1 & x_{2} & x_{\frac{2}{2} } & ... & x_{\frac{n-1}{2} } \\ ... \\ 1 & x_{n} & x_{\frac{2}{n} } & ... & x_{\frac{n-1}{n} }\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (nur stadt den Brüchen übereinandergeschrieben!!) Meine Ideen: Zu zeigen: $\begin{eqnarray} detA= (Summe aus i=1 bis n) x (Summe aus j=1 bis j-1) x (x_{i} - x_{j}) \end{eqnarray}$ Ich dachte an vollständige Induktion - aber da komme ich iwi nicht weiter...
25.11.2011, 11:20	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion ist ok. Du kannst die 1. Zeile durch Spaltentransformation elemenieren so das dann $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 1 & . & . & ... & . \\ ... \\ 1 & . & . & ... & .\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Gruß PS: Die Matrix nennt man auch Vandermonde-matrix
05.01.2012, 10:15	OrangeneMusik	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Habe mich ein bischen informiert, mit Freunden zusammen getan und bin auf folgende Lösung gekommen: Behauptung: det(A)= (Produkt aus i=1 bis n)(Produkt aus j=1 bis i-1)(x_1 - x_j) Beweis: IA: n=1: det(A)=det(a)=1=(Produkt aus i=1 bis 1) (Produkt aus j=1 bis i-1) (x_i - x_j) IV: Behauptung für $\begin{eqnarray} (n-1) \in \mathbb N \end{eqnarray}$ fest, $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ IS: n-1 -> n det(A)= (Für j Element von {2, ..., n} subtrahiere x_n-fache der (j-1)ten Spalte von j-ten Spalte $\begin{eqnarray} det\begin{pmatrix} 1(x_1 - x_n^1) & (x_1^2 - x_nx_1) & ... & (x_1^{n-1} - x_nx_1^{n-2} \\ 1(x_2 - x_n^1) & (x_2^2 - x_nx_1) & ... & (x_2^{n-1} - x_n x_2^{n-2}\\ ... & ... & &... \\ 1(x_n - x_n^1) & (x_n^2 - x_n x_1) & ... & (x_n^{n-1} - x_n x_n^{n-2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = det\begin{pmatrix} 1 & x_1 - x_n & x_1(x_1-x_n) & x_1^2 (x_1-x_2) & ... & x_1^{n-2}(x_1-x_n) \\ ... \\ 1 & 0 & ... & & & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = (durch Laplace) = $\begin{eqnarray} (-1)^{n+1}\times det\begin{pmatrix} (x_1-x_n) & x_1(x_1-x_n) & ... & x_1^{n-2}(x_1-x_n) \\ ... \\ (x_{n-1}-x_n & x_{n-1}(x_{n-1}-x_n) & ... & x_{n-1}^{n-2}(x_{n-1}-x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(-1)^{n+1} (Produkt.aus.j=1 .bis.n-1 (x_j-x_n)) \times det\begin{pmatrix} 1 & x_1 & ... & x_1^{n-2} \\ ... \\ 1 & x_{n-1}& ... & x_{n-1}^{n-2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = (durch IV) = $\begin{eqnarray} (-1)^{n+1}(Produkt .aus. j=1 .bis. n-1 .(x_j-x_n))\times (Produkt.aus.i=1.bis.n-1)\times (Produkt.aus.j=1.bis.i-1.(x_i-x_j)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (Produkt .aus. j=1 .bis. n-1 .(x_j-x_n)) = (-1)^2(-1)^{n-1} \times (Produkt.aus.j=1.bis.n-1.(x_j-x_n)) = (Produkt.aus.j=1.bis.n-1.(x_n-x_j)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (Produkt.aus.j=1.bis.i-1.(x_i-x_j)) = (Produkt. aus. j=1.bis.n-1,i=n. (x_i-x_j) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_i=x_1 \end{eqnarray}$ Joaa... Das wars (: Leider hat latex nicht das Produktzeichen, dann wäre es erheblcih weniger und sähe schöner aus. Aber ich glaube, wen es wirklich interessiert, der kann es auch so lesen... AL

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