zeigen folge n-te wurzel(n) ist konvergent

25.11.2011, 11:31

Eisvogel

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zeigen folge n-te wurzel(n) ist konvergent

Meine Frage:
wie zeige ich dass $\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ konvergent ist?

Meine Ideen:
beschränkt ist sie ja, nur leider nicht monoton für alle n aus IN. bringt das was, wenn ich als abschätzung benutze, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^n \frac{k!}{(k-1)!}}=\sqrt[n]{1\cdot 2\cdot ... \cdot \frac{n}{n-1}}\leq \frac{1+2+...+\frac{n}{n-1}}{n} \end{eqnarray*}$ ist?

25.11.2011, 11:43

Ungewiss

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Wenn du die Mittelungleichung verwenden willst, wäre das eine Möglichkeit:

$\begin{eqnarray*} 1\leq\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n\cdot}\prod_{k=1}^{n-2}1}\leq \frac{2\sqrt{n}+n-2}{n} \end{eqnarray*}$

Oder hast du ein Argument weshalb der Ausdruck rechts gegen 1 konvergiert?

25.11.2011, 11:44

klarsoweit

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RE: zeigen folge n-te wurzel(n) ist konvergent
Wie wäre es damit:

Definiere $\begin{eqnarray*} x := \sqrt[2n]{n} - 1 > 0 \end{eqnarray*}$ und wende auf $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ die Bernoullische Ungleichung an.

25.11.2011, 11:44

ollie3

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RE: zeigen folge n-te wurzel(n) ist konvergent
hallo eisvogel,
deine idee kann nicht funktionieren, denn es ist nicht n=1*2*...*n/(n-1).
Es muss also anders gehen.
gruss ollie3

25.11.2011, 11:49

Eisvogel

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@alle: danke smile

smile

@Ungewiss: meinst du den mathematischen begriff "argument" oder das allgemein gebräuchliche argument? smile

smile

ps: wie kamst von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n\cdot}\prod_{k=1}^{n-2}1} \end{eqnarray*}$ ?

@klarsoweit: wie kommst auf $\begin{eqnarray*} x := \sqrt[2n]{n} - 1 > 0 \end{eqnarray*}$ ?

@ollie3: ich hab das aber mittels vollständiger induktion nachgeprüft.

25.11.2011, 11:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von Eisvogel
@klarsoweit: wie kommst auf $\begin{eqnarray*} x := \sqrt[2n]{n} - 1 > 0 \end{eqnarray*}$ ?

Wie ich darauf komme, ist doch wurscht. Ich kann ein x definieren wie ich will. Und daß es größer Null ist, liegt auf der Hand. smile

smile

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25.11.2011, 12:03

Eisvogel

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mir ist es nicht egal, in einer klausur muss ich auf sowas ja dann auch kommen smile

smile

wie du auf die 2 im nenner des exponenten kommst würde mich interessieren: $\begin{eqnarray*} \sqrt[\color{red} 2 \color{black}n]{n}-1 \end{eqnarray*}$

denn $\begin{eqnarray*} x := \sqrt[n]{n} - 1 \end{eqnarray*}$ erinnert mich die $\begin{eqnarray*} \varepsilon -n_0 \end{eqnarray*}$ -Definition, weil der grenzwert ja (höchst wschl) 1 ist

25.11.2011, 12:16

René Gruber

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Na wenn dir die Antwort besser gefällt:

Zitat:

Original von Eisvogel
wie kommst auf $\begin{eqnarray*} x := \sqrt[2n]{n} - 1 > 0 \end{eqnarray*}$ ?

Durch Erfahrung sowie geduldige Betrachtung des Problems. Und wenn man einmal auf die Idee "Bernoullische Ungleichung" gekommen ist, dann muss man sich auch genau überlegen, wie das mit der klappen kann. Und da ist eben $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[n]{n}-1 \end{eqnarray*}$ noch keine gute Idee, da das nur zu

$\begin{eqnarray*} n = (1+x)^n \geq 1+nx \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = 1+x \leq 1+\frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$

führt, was nichts einbringt. Also macht man das mit der kleinen Modifikation $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[2n]{n}-1 \end{eqnarray*}$ , weil dann

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n} = (1+x)^n \geq 1+nx \end{eqnarray*}$

gilt, was löetztlich zum Erfolg führt.

Es klappt nicht jede Idee immer gleich, manchmal muss man variieren, probieren, bis man den Erfolgspfad findet. D.h., die Frage "wie kommst du darauf" ist leicht herauszuplatzen, aber schwer bzw. gar nicht zu beantworten. Deswegen lass sie in Zukunft besser stecken und ersetze sie durch kostruktiveres wie "warum funktioniert das" bzw. "wieso geht nicht auch das" usw.

25.11.2011, 12:40

Eisvogel

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gut so eine frage hab ich nämlich smile

smile

warum darfst du das $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ so modifizieren, dass es zu $\begin{eqnarray*} \sqrt[2n]{n} - 1 \end{eqnarray*}$ wird? ich meine, dass ich doch keine äquivalenzumforumng und verfälscht damit doch das ergebnis oder?

25.11.2011, 13:39

René Gruber

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Es kommt doch darauf an, was man damit macht - es gibt da keinerlei "Verbote" hinsichtlich der Definition irgendwelcher Zwischenterme. Da steht doch keine Gleichung wie etwa $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \stackrel{???}{=} \sqrt[2n]{n}-1 \end{eqnarray*}$ , die wäre natürlich falsch. Seltsam, dass einige Leute (wie du) das anscheinend daraus zu lesen glauben. unglücklich

unglücklich

Wenn man am Ende daraus eine Aussage über $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ ableiten, muss man entsprechend nicht über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , sondern über $\begin{eqnarray*} (1+x)^2 \end{eqnarray*}$ reden - warum nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.11.2011, 13:40

klarsoweit

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RE: zeigen folge n-te wurzel(n) ist konvergent
Ich modifiziere da gar nichts. Ich betrachte lediglich ein x, das ich mit $\begin{eqnarray*} x := \sqrt[2n]{n} - 1 \end{eqnarray*}$ definiere. Dann schaue ich mir $\begin{eqnarray*} \sqrt n = (1+x)^n \end{eqnarray*}$ an und wende auf die rechte Seite die Bernoullische Ungleichung an. Da habe ich nichts Verbotenes gemacht.

EDIT: ist zwar jetzt doppelt, aber ich lasse es mal stehen.

25.11.2011, 13:55

Calahan

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RE: zeigen folge n-te wurzel(n) ist konvergent
Übrigens wäre da ja auch noch der von Ungewiss vorgebrachte Ansatz über AMGM und wenn Du magst, könntest Du mit $\begin{eqnarray*} x_n:=\sqrt[n]{n}-1 \end{eqnarray*}$ auch

$\begin{eqnarray*} n=(1+x_n)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x_n^k\geq{n\choose 2}x_n^2=\frac 12 n(n-1)x_n^2 \end{eqnarray*}$

betrachten und folgern, dass $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

Egel wie, immer dient die jeweilige Abschätzung dazu die n-te Wurzel kaputtzumachen.

25.11.2011, 14:49

Eisvogel

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RE: zeigen folge n-te wurzel(n) ist konvergent
vielen vielen dank leute! Blumen

Blumen

ich habe jetzt sogar einen eigenen lösungsweg gefunden! mir war gar nicht klar, dass endlich viele elemente von der monontie ausgenommen sein dürfen. ich habe jetzt gezeigt, dass die folge für n aus {3,4,5,...} streng monoton fällt. und die beschränktheit habe ich auch.

ich wills aber auf jeden fall die nächsten tage mal mit euren vorschlägen probieren und hoffe, dass ich auch noch nach ein paar tagen zu diesem thread fragen stellen darf wenn mir noch was unklar ist...

und nochmals vielen dank für eure mühen! echt toll, dass sich so viele kostenlos für andere ins zeug legen! Herz

Herz

25.11.2011, 14:57

klarsoweit

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RE: zeigen folge n-te wurzel(n) ist konvergent

Zitat:

Original von Eisvogel
ich habe jetzt gezeigt, dass die folge für n aus {3,4,5,...} streng monoton fällt.

Kannst du das mal posten?

Du hättest dann zwar die Konvergenz, aber mit unseren Ansätzen haben wir sogar den Grenzwert. smile

smile

25.11.2011, 22:21

Eisvogel

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RE: zeigen folge n-te wurzel(n) ist konvergent
sry musste dann weg, deswegen hab ich deine frage erst jetzt gelesen. smile

smile

na klar: behauptung: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n^{\frac{1}{n}} > (n+1)^{\frac{1}{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n^{\frac{n+1}{n}} > n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n^{1+\frac{1}{n}} > n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n\sqrt[n]{n} > n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sqrt[n]{n} > \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n > \left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\in ~]2,3[ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (a_n) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$

25.11.2011, 22:49

Eisvogel

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RE: zeigen folge n-te wurzel(n) ist konvergent
kleinigkeit vergessen: $\begin{eqnarray*} \color{red} \lim_{n \to \infty }\color{black}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\in ~]2,3[ \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend $\begin{eqnarray*} \square \end{eqnarray*}$

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