Konvergenz von Folgen, limsup, liminf

25.11.2011, 14:05	Fa Tih	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Folgen, limsup, liminf Hallo zusammen, ich würde gerne wissen, ob ich die Aufgaben richtig gelöst habe und würde gerne ein paar Tipps für die Formalien haben, da ich für diese immer wieder viele "doofe" Punkte abgezogen bekomme: (a) Untersuchen Sie $\begin{eqnarray} a_{n} := (1-\frac{1}{2n})^n \end{eqnarray}$ auf Konvergenz. (b) Bestimmen Sie die Menge der HP und geben Sie den Limes superior und den Limes inferior an für $\begin{eqnarray} b_{n} := \frac{2^n+(-3)^n}{(-2)^n+3^n} \end{eqnarray}$ . (b) Verfahren Sie für $\begin{eqnarray} c_{n} := Re(1+\frac{i^n}{n})i^n \end{eqnarray}$ wie in Teil (b). Meine Lösungen: (a) $\begin{eqnarray} a_{n} := (1-\frac{1}{2n})^n = (1+\frac{1}{-2n})^n = (1+\frac{1}{m})^\frac{-m}{2} = [(1+\frac{1}{m})^m]^\frac{-1}{2} \end{eqnarray}$ . Aus 2.7 (Skript) wissen wir, dass $\begin{eqnarray} \lim_{m \to \infty } (1+\frac{1}{m})^m := e \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } a_{n} := \frac{1}{\sqrt{e} } \end{eqnarray}$ (b) 1. Fall: für n(gerade) gilt: $\begin{eqnarray} b_{n} := \frac{2^n+3^n}{2^n+3^n} := 1. \Rightarrow \lim_{n \to \infty } b_{n}:= 1 \end{eqnarray}$ . Somit ist 1 ein HP von $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ . 2. Fall: für n(ungerade) gilt: $\begin{eqnarray} b_{n} := \frac{2^n+(-3)^n}{(-2)^n+3^n} := -1. \Rightarrow \lim_{n \to \infty } b_{n}:= -1 \end{eqnarray}$ . Somit ist -1 ein weiterer HP von $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ . Also ist die Menge der HP von $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} A := \left\{ -1,1\right\} \end{eqnarray}$ und wir haben $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }sup b_{n} := 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }inf b_{n} := -1 \end{eqnarray}$ . (c) $\begin{eqnarray} c_{n} := Re(1+\frac{i^n}{n})i^n = Re(i^n+\frac{(i^2)^n}{n}) = Re(i^n+\frac{(-1)^n}{n}) = \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray}$ So gilt OE $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } c_{n} = 0 \end{eqnarray}$ , Also ist die Menge der HP von $\begin{eqnarray} c_{n} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} A := \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ und wir haben $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }sup c_{n} = \lim_{n \to \infty }inf c_{n} = 0 \end{eqnarray}$ . Sind meine Ergebnisse richtig? und kann ich diese so stehen lassen und auch abgeben? Ich glaube zwar eher weniger, aber mal schauen. Vielen Dank im voraus!
26.11.2011, 13:39	Fa Tih	Auf diesen Beitrag antworten »
niemand da, der das kontrollieren bzw. korrigieren kann??
26.11.2011, 15:35	Wurstkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Fa Tih, mit a und b bin ich einverstanden, aber i^n hat eine 4-Periodizität. Ein einziger Häufungspunkt ist also eher unwahrscheinlich. Schau dir mal die 4 Teilfolgen modulo 4 an Cheers!
26.11.2011, 17:44	Fa Tih	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal, ich habe die Aufgabe (c) so verstanden, dass ich nur den Realteil von $\begin{eqnarray} ((1+\frac{i^n}{n})i^n) \end{eqnarray}$ betrachten muss. Ich habe bei der Aufgabenstellung die äußeren Klammern vergessen, also richtig wäre die Aufgabe so: $\begin{eqnarray} c_{n} := Re((1+\frac{i^n}{n})i^n) \end{eqnarray}$ so dürfte ich doch für $\begin{eqnarray} c_{n} := \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray}$ erhalten und dann damit weiterrechnen???
27.11.2011, 12:35	Gastmathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei Teil a) ist deine Lösung falsch, du kannst da nicht einfach so irgendetwas "substituieren". (Das Ergebnis ist richtig, dass ist aber Zufall)

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