Stochastisch unabhängig

25.11.2011, 14:31

Jörg87

Stochastisch unabhängig

Meine Frage:
Die ereignisse A,B und C seien stochastisch unabhängig.Zeigen sie, dass dann auch die ereignisse A und $\begin{eqnarray*} B\cup C \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig sind.

Meine Ideen:
Da A,B und C stochastisch unabhängig sind gilt
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B\cap c)=P(A)P(B)P(C) \end{eqnarray*}$

zu zeigen ist jetzt

$\begin{eqnarray*} P(A\cap(B\cup C))=P(A)P(B\cup C) \end{eqnarray*}$

kann mir jemand helfen,wie ich das zeigen kann?

25.11.2011, 15:06

Jörg87

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es gilt
$\begin{eqnarray*} P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C) \end{eqnarray*}$

daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} P(A)(P(B)+P(C)-P(B\cap C))=P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A)P(B\cap C) \end{eqnarray*}$

ist das der richtige ansatz?

25.11.2011, 15:38

Gast11022013

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Anfangen würde ich erstmal mit

$\begin{eqnarray*} A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C) \end{eqnarray*}$ .

Und dann die Unabhängigkeit von A,B und C ausnutzen.

25.11.2011, 15:48

Jörg87

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ok
daraus folgt

$\begin{eqnarray*} P(A\cap (B\cup C))=P((A\cap B)\cup (A\cap C))=P(A\cap B)\cup P(A\cap C)=P(A)P(B)\cup P(A)P(C)=P(A)(P(B)\cup P(C))=P(A)P(B\cup C) \end{eqnarray*}$

somit hab ich dann die behauptug gezeigt

25.11.2011, 16:04

Gast11022013

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Zitat:

Original von Jörg87

$\begin{eqnarray*} P((A\cap B)\cup (A\cap C))=P(A\cap B)\cup P(A\cap C) \end{eqnarray*}$

Wie begründest Du diesen Schritt?

25.11.2011, 16:06

Jörg87

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definition eingesetzt und dann P auseinander gezogen oder kann man das nicht so machen?

25.11.2011, 16:12

Gast11022013

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Kann man meines Wissens so nicht einfach auseinanderziehen.

25.11.2011, 16:15

Jörg87

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sonst wüsste ich nicht wie ich es weiter vereinfachen kann

25.11.2011, 16:21

Gast11022013

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Naja, Du hast doch selbst vorhin schon die endliche Additivität eines W.-Maßes benutzt, das kannst Du hier auch:

$\begin{eqnarray*} P((A\cap B)\cup (A\cap C))=P(A\cap B)+P(A\cap C)-P((A\cap B)\cap (A\cap C)) \end{eqnarray*}$ .

Wie kann man nun $\begin{eqnarray*} (A\cap B)\cap (A\cap C) \end{eqnarray*}$ noch ausdrücken?

25.11.2011, 16:29

Jörg87

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ok

$\begin{eqnarray*} P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A\cap B)P(B\cap C)=P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A\cap A)P(B\cap C)=P(A)P(B)+P(A)P(C)-0 P(B\cap C)=P(A)(P(B)+P(C)) \end{eqnarray*}$

25.11.2011, 16:37

Gast11022013

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Es ist doch $\begin{eqnarray*} (A\cap B)\cap (A\cap C) \end{eqnarray*}$ das Gleiche wie $\begin{eqnarray*} A\cap B\cap C \end{eqnarray*}$ .

Also hast Du:

$\begin{eqnarray*} P(A\cap (B\cup C)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P((A\cap B)\cup (A\cap C)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P(A\cap B)+P(A\cap C)-P((A\cap B)\cap (A\cap C)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A)\underbrace{P(B)P(C)}_{P(B\cap C)} \end{eqnarray*}$ ,

da A,B und C n.V: unabhängig sind.

Und das ist doch (wie Du oben schon gezeigt hattest) identisch mit

$\begin{eqnarray*} P(A)P(B\cup C) \end{eqnarray*}$

25.11.2011, 16:46

Jörg87

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ok ich habs
vielen dank für deine hilfe Freude

25.11.2011, 16:56

Gast11022013

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Ich freue mich, wenn ich helfen konnte und wünsche ein schönes Wochenende!

Wink

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