Ableitung einer Funktion mit zwei Variablen

25.11.2011, 14:55	ch4m	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer Funktion mit zwei Variablen Meine Frage: Hallo, meine Frage bezieht sich auf diesen Term: $\begin{eqnarray} A(T,x) = \frac{1}{x}\left(g(T) - h(T,x)\right) \end{eqnarray}$ , wobei x und T über Stoffwerte (ich habe also keine analytische Funktion) direkt abhängig voneinander sind. $\begin{eqnarray} x = f(T) \end{eqnarray}$ Ich möchte diese Funktion nun nach T ableiten, so dass ich durch Integration der Ableitung, ich nenne sie mal B, von T_1 nach T_2 wieder A(T_2,x_2) erhalte, also etwa: $\begin{eqnarray} \int_{T_1}^{T_2} \! B(T,x(T)) \, dT + C_1 = A(T_2,x_2) \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Wenn ich den Term nach T ganz brav mit der Produktregel aus der Schule ableite bekomme ich heraus: $\begin{eqnarray} B = -\frac{1}{x^2}\left(g(T) - h(T,x)\right) + \frac{1}{x}\left(\frac{dg(T)}{dT} - \frac{dh(T,x)}{dT}\right) \end{eqnarray}$ Dieser Term hat allerdings nicht das gewünschte Ergebnis gebracht. Ich vermute, dass das Problem bei $\begin{eqnarray} \frac{dh(T,x)}{dT} \end{eqnarray}$ liegt. Da dort eine Verkettung drin steckt, muss evt. noch die Ableitung nach x, also $\begin{eqnarray} \frac{dh(T,x)}{dT} \end{eqnarray}$ hinein? Da es wohl keine reine Verkettung ist, denn das wäre dann ja $\begin{eqnarray} h\left(x(T)\right) \end{eqnarray}$ , kann ich doch auch keine "innere Ableitung" bilden, oder? Ich wäre für eine Hilfe sehr dankbar, ich knabbere nun schon eine ganze Weile dran herum und bald hab ich mir bestimmt die Zähne ausgebissen :p beste Grüße, ch4m
25.11.2011, 15:37	DerDepp	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Funktion mit zwei Variablen Hossa Weil x=f(T) ist, hängt deine Funktion A(T,x) ausschließlich von der Variablen T ab. Würdest du die genaue Form von f(T) kennen, könntest du diese in A(T,f(T)) einsetzen und bekämst eine Funktion A(T). Diese könntest du dann wie gewohnt nach T ableiten. ("Totale" Ableitung nach der einen, zu Grunde liegenden Veränderlichen!) Du kannst jedoch auch mit partiellen Ableitungen rechnen. Diese werden als "geschwungene" Differentiale geschrieben. Dabei wird nur nach der Variablen abgeleitet, die explizit im Ausdruck vorkommt. Alle anderen Variablen werden als Konstante betrachtet. Daher der Name "partielle Ableitung" $\begin{eqnarray} \frac{\partial A}{\partial T}\quad \end{eqnarray}$ bedeutet, dass du A nur nach T ableitest und x als konstant betrachtest $\begin{eqnarray} \frac{\partial A}{\partial x}\quad \end{eqnarray}$ bedeutet, dass du A nur nach x ableitest und T als konstant betrachtest Die "totale" Ableitung von A(T,x) nach T kannst du mit Hilfe der partiellen Ableitungen und der verallgemeinerten Kettenregel wie folgt berechnen: $\begin{eqnarray} \frac{dA}{dT}=\frac{\partial A}{\partial T}\,\frac{dT}{dT}+\frac{\partial A}{\partial x}\,\frac{dx}{dT}=\frac{\partial A}{\partial T}+\frac{\partial A}{\partial x}\,\frac{dx}{dT} \end{eqnarray}$ Viele Grüße Der Depp
25.11.2011, 16:32	ch4m	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Funktion mit zwei Variablen Wow, das geht ja fix hier, vielen Dank für die schnelle Antwort! Also, ich habs ausprobiert, aber irgendwas mache ich noch falsch... meine partiellen Ableitungen lauten: $\begin{eqnarray} \frac{\partial A}{\partial T} = \frac{1}{x}\left(\frac{\partial g}{\partial T} - \frac{\partial h}{\partial T}\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial A}{\partial x} = - \frac{1}{x^2}\left(g - h \right) + \frac{1}{x}\left( - \frac{\partial h}{\partial x}\right) \end{eqnarray}$ Und dann lautet die "totale" Ableitung: $\begin{eqnarray} \frac{dA}{dT} = \frac{1}{x}\left(\frac{\partial g}{\partial T} - \frac{\partial h}{\partial T}\right) + \left[- \frac{1}{x^2}\left(g - h \right) + \frac{1}{x}\left( - \frac{\partial h}{\partial x}\right)\right] \frac{dx}{dT} \end{eqnarray}$ Betrachtet man die Variablen denn nur bei der partiellen Ableitung als konstant oder auch bei der Integration, also wenn ich von T_1 nach T_2 integrieren möchte, nehme ich dann einfach die obere Funktion oder setze ich dann wirklich die konstanten Werte ein? Das wäre dann ja so: $\begin{eqnarray} \frac{dA}{dT} = \frac{1}{x_1}\left(\frac{\partial g(T)}{\partial T} - \frac{\partial h(T,x_1)}{\partial T}\right) + \left[- \frac{1}{x^2}\left(g(T_1) - h(T_1,x) \right) + \frac{1}{x}\left( - \frac{\partial h(T_1,x)}{\partial x}\right)\right] \frac{dx}{dT} \end{eqnarray}$ Wie ists richtig, die Konstanten verwenden oder alles variabel lassen? Vielen Dank!

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