Steckbriefaufgabe Rutsche

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KingoftheEast Auf diesen Beitrag antworten »
Steckbriefaufgabe Rutsche
Meine Frage:
Hallo,

Ich hätte da mal eine Aufgabe mit der ich nicht klar komme:

Es ist ein Bild von einer Rutsche mit maximal 4m Höhe und 4m Breite gezeichnet. Das seitliche Profil der Rutsche soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion modelliert werden und durch deren Extrempunkte begrenzt sein.
a) Bestimmen Sie einen geeigneten Funktionsterm.
b) Der TÜV fordert eine von den Herstellern, dass Spielzeugrutschen an keiner Stelle steiler sein dürfen als 50° gegen die Horizontale. Entspricht die Rutsche dieser Anforderung?
c) Entwerfen Sie eine 4m hohe Rutsche, deren Steigung an der steilsten Stelle genau 45° beträgt.


Meine Ideen:
Teilaufgabe a) und b) sind kein Problem nur bei c) komm ich nicht weiter. Mein Ansatz:

Basierend auf Teilaufgabe b) habe ich nun mit dem tan 45° zurückgerechnet und heraus bekommen das die Steigung für den Wendepunkt 1 sein müsste also f'(x)=1 bzw. f'(x)= -1 nun weiß aber nicht wirklich weiter. Ich habe zwar weiterhin zwei Bedingungen mit f(0)= 4 und f'(0)=0 aber der Rest ist mir ein Rätsel. Sollte ich das fehlende x bzw. die fehlende "Nullstelle" durch eine Variable ersetzen und dann versuchen weiterzurechnen?! Dann fehlt mir jedoch ein wirklicher Anfang.

Ich wäre euch sehr dankbar für einige Tipps.
Packo Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe c):
y = -x + 4
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steckbriefaufgabe Rutsche
Zitat:
Original von KingoftheEast
Basierend auf Teilaufgabe b) habe ich nun mit dem tan 45° zurückgerechnet und heraus bekommen das die Steigung für den Wendepunkt 1 sein müsste also f'(x)=1 bzw. f'(x)= -1 nun weiß aber nicht wirklich weiter. Ich habe zwar weiterhin zwei Bedingungen mit f(0)= 4 und f'(0)=0 aber der Rest ist mir ein Rätsel.


Setz mal f'(2)=-1 sowie f''(2)=0. Das sollte zwar auf eine Gleichung fünften Grades rauslaufen, aber, wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommst Du auch mit einem Ansatz vierter Ordnung hin.

Viele Grüße
Steffen
KingOfTheEast Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie kommt man auf x=2? dafür muss es doch eine Begründung geben..
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KingOfTheEast
Aber wie kommt man auf x=2? dafür muss es doch eine Begründung geben..


Du kannst auch x=3,5 oder was auch immer nehmen. Dann mußt Du allerdings eine Funktion fünften Grades für den Polynomfit verwenden.

Daß x=2 bei der Funktion vierten Grades funktioniert, habe ich einfach mal gehofft, und siehe da, es ging auf. Wahrscheinlich gibt's auch einen Beweis dafür, den kann ich aber nicht liefern.

Viele Grüße
Steffen
KingOfTheEast Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe davon aus dáss die Funktion 3.Grades sein muss, weil wir in Teilaufgabe b) auch eine Funktion 3. Grades hatten und eigentlich meiner Meinung nach nur Koeffizienten ändern müssen um den Kurvenverlauf auf die entsprechenden Bed. anzupassen. Lieder müssen wir das auch beweisen mit den x=2
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KingOfTheEast
Ich gehe davon aus dáss die Funktion 3.Grades sein muss


Das wird nicht gehen, fürchte ich. Mit den vier Punkten

f(0)=4
f'(0)=0
f(4)=0
f'(4)=0

hast Du bei drittem Grad nur eine einzige Lösung, und die hat leider ein maximales Gefälle von 1,5 bei x=2 (wieder, falls ich mich nicht verrechnet habe, prüf's sicherheitshalber noch einmal).

Somit hilft es m.E. nichts, Du mußt mit einer höheren Ordnung arbeiten.

Viele Grüße
Steffen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

nirgends steht ein maximalgrad. nur, dass es nur 2 extremstellen geben soll.

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
f(0)=4
f'(0)=0
f(4)=0
f'(4)=0
f'(2)=-1
f''(2)=0


http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm
KingOfTheEast Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt.. Das ist Teilaufgabe b)

Ich habe nur gedacht dass man das genauso macht wie in b) nur diesmal muss der Wendepunkt nicht bei x=2 liegt sondern woanders. Und die Steigung des WP eben 1 ist. Wenn es eine Funktion höherer Ordnung ist stellt sich mir die Frage wo man die nächste Bed. herkriegen soll.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KingOfTheEast
Ja das stimmt.. Das ist Teilaufgabe b)


Bei b müßte allerdings f(0)=a mit 0<a<4 oder sowas sein, weil Du ja eine Rutsche beliebiger Höhe baust.

Zitat:
Original von KingOfTheEast
Ich habe nur gedacht dass man das genauso macht wie in b) nur diesmal muss der Wendepunkt nicht bei x=2 liegt sondern woanders.


Aber der Wendepunkt kann nicht woanders liegen! Mit a=4 sind die Funktion und damit ihre Ableitungen festgelegt. Kannst ja nachrechnen.

Zitat:
Original von KingOfTheEast
Wenn es eine Funktion höherer Ordnung ist stellt sich mir die Frage wo man die nächste Bed. herkriegen soll.


Das scheint Dir freigestellt zu sein. Mach das größte Gefälle halt in die Mitte. Bring die Bedingungen

f'(2)=-1
f''(2)=0

rein, mach meinetwegen einen Ansatz fünfter Ordnung, Üben schadet ja nie, und Du hast es.

Als Fleißaufgabe kannst Du ja noch x=1 und x=3 rechnen. Augenzwinkern

Viele Grüße
Steffen
KingoftheEast Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso?! Bei Teilaufgabe b) muss der Wendepunkt ausgerechnet werden und in die 1.Ableitung eingesetzt werden. Der Winkel der Steigung des Punktes ist der tan von alpha hoch -1. Da an dem Wendepunkt die höchste Steigung des gesamten Graphen ist muss es dort berechnet werden. Da kommt -56° und das bedeutet die Rutsche ist nicht zulässig. Das wurde bei uns im UNterricht anschließend besprochen und für absolut richtig erklärt. Und jetzt muss umgerechnet werden und ein Wendepunkt mit der Steigung 1 gefunden weden und dementsprechen ein graph mit der Bed. f(0)=4 und f'(0) modelliert werden.. Zumindest habe ich das so verstanden. Dann stellt sich mir die Frage wieso der Wendepunkt sich in dem neuen Graphen nicht bei x=1 oder x=3 befindet? Ich kann doch ein Graphen mit den genannten Bedingungen modellieren der einen WP bei einer anderen x-Stelle hat und gleichzeitig 4.Ordnung ist..Oder nicht?
KingoftheEast Auf diesen Beitrag antworten »

Desweiteren habe ich gerade die FUnktion 5.Grades mit den Bedingungen f'(2)=-1 und f''(2)=0 überprüft. Dort kommen zwei weitere Wendestellen an x=0,9045 und x=3,095 heraus die beide eine höhere Steigung und damit auch einen höheren Winkel als 45° haben.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was spricht gegen diese Funktion?
KingoftheEast Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann den Link nicht öffnen..aber wenn es die Funktion die du vorher gepostet hast, dann hat diese Funktion 3 Wendestellen, zwar ist eine davon entsprechend der Bedingungen aber die anderen beiden Wendestellen sind zu "steil" dh. sie sind steiler als 45°. Und das darf laut Aufgabenstellung nicht passieren.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich nicht. Man interessiert sich doch nur für das Intervall [0,4], nur dort wird die Rutsche gebaut.
KingoftheEast Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und in diesem Intervall gibt es noch zwei Wendepunkte, zumindest laut dem Steckbriefrechner..Wenn man ganz genau hinschaut sieht man auch zwei kleine Wölbungen im Kurvenverlauf.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ok.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KingoftheEast
Desweiteren habe ich gerade die FUnktion 5.Grades mit den Bedingungen f'(2)=-1 und f''(2)=0 überprüft.


Ich habe nun lange über diese Aufgabe nachgedacht, besonders über Packos lapidaren Beitrag "y = -x + 4". Diese Rutsche kann natürlich nicht die Lösung sein, weil die Steigung am Anfang und Ende nicht Null ist. Aber die Steigung ist natürlich überall -1.

Wenn ich jetzt aber eine solche Rutsche "zurechtbiege", damit die Steigung oben und unten Null ist, und dabei die beiden Enden lasse, wo sie sind, wird es anschaulich, daß die Steigung irgendwo dazwischen kleiner werden muß als -1.

Nachdem mir das klar wurde, habe ich in meine Gleichung vierten Grades, deren Ableitung bei x=2 so schön auf -1 geht, mal x=3 eingesetzt, und meine Befürchtungen wurden wahr: -1,125.

So eine Rutsche ist tatsächlich unmöglich! Und das ist die Lösung dieser Aufgabe. Es läßt sich wohl auch algebraisch zeigen, daß die erste Ableitung bei diesen Nebenbedingungen immer irgendwo Werte kleiner -1 für x zwischen 0 und 4 besitzt.

Tur mir leid, daß ich Dich auf eine falsche Fährte geführt habe, aber ich bin auch selber reingetappt. Ist trotzdem eine nette Aufgabe.

Viele Grüße
Steffen
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