Re-, Im-Teil (1+i)^n

25.11.2011, 16:23

Fa Tih

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Re-, Im-Teil (1+i)^n

Hallo,

ich soll den Betrag, Reail- und Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} (1+i)^n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} , \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ angeben.
Ich weiß nicht welche Fallunterscheidungen ich machen muss bzw. auch nicht den Ansatz. Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?

25.11.2011, 16:54

Gast11022013

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Ich denke das Stichwort ist hier "binomischer Lehrsatz".

25.11.2011, 20:22

Calahan

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Hier würde ich einfach mal $\begin{eqnarray*} (1+i)^2 \end{eqnarray*}$ berechnen und mir dann überlegen wie's mit $\begin{eqnarray*} (1+i)^{2n}\text{ bzw. }(1+i)^{2n+1} \end{eqnarray*}$ aussieht.

26.11.2011, 13:31

Fa Tih

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Vielen Danke Dennis2010,

Zitat:

Ich denke das Stichwort ist hier "binomischer Lehrsatz".

aber ich verstehe ehrlich gesagt nicht, was ich dann mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n 1^{n-k}i^k \end{eqnarray*}$ anfangen soll :S.
Ich könnte zwar sagen, dass immer für n-gerade ein Realteil existiert und auch für n ungerade ein imaginärteil existiert, aber wäre es damit erledigt?

Dir Danke ich auch vielmals Calahan,

$\begin{eqnarray*} (1+i)^2 = 2i \end{eqnarray*}$ also wäre $\begin{eqnarray*} (1+i)^2n = (2i)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1+i)^{2n+1}=(2i)^{n+\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
hier weiss ich leider auch nicht weiter :S verwirrt

verwirrt

traurig

26.11.2011, 17:50

mYthos

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Die Exponentialdarstellung gibt zumindest sofort den Betrag an, denn

$\begin{eqnarray*} (1 + i) = \sqrt 2 \cdot e^{i \frac{\pi} 4} \end{eqnarray*}$

mY+

26.11.2011, 18:03

Fa Tih

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Wie kommt man denn auf

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (1 + i) = \sqrt 2 \cdot e^{i \frac{\pi} 4} \end{eqnarray*}$

ich denke, dass ich das nicht verwenden darf, weil wir das noch nicht hatten bzw. bewiesen haben. Und ausserdem wüsste ich auch nicht hier viel weiter unglücklich

unglücklich

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26.11.2011, 18:15

mYthos

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--> Euler'sche Relation*, sollte bekannt sein. Der Betrag der n-ten Potenz ist sofort ablesbar, weil der Betrag der e-Potenz immer 1 ist.

(*) $\begin{eqnarray*} cos \varphi + i \sin \varphi = e^{i \varphi} \end{eqnarray*}$

Nach dem trigonometrischen Pythagoras ist der Betrag dieser komplexen Zahl gleich 1.

mY+

26.11.2011, 18:30

Fa Tih

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Es ist mir schon peinlich, aber unglücklich

unglücklich

ich hab gerade auch im Skript nachgeguckt, aber das hatten wir auch nicht. Tut mir leid!

26.11.2011, 18:39

LAgirly

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Ich übernehme keine Garantie für meine Überlegungen, aber ich habe die Aufgabe so gelöst, dass du n schreiben kannst als 4q+r
Dann hast du $\begin{eqnarray*} (1+i)^{4q+r} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (1+i)^{4q}*(1+i) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ((1+i)^4)^q*(1+i) \end{eqnarray*}$ =...
Dann kannst du schließlich die Fälle n=4q, n=4q+1, n=4q+2, n=4q+3

LG

PS: Ich glaube du sitzt bei mir in der Vorlesung und wie hatten die Darstellung in der Exponentialform wirklich nicht smile

smile

26.11.2011, 18:47

mYthos

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@LAgirly

Ein guter Ansatz, zumindest für Re und Im. Für den Betrag weniger, aber es müsste schon auch so gehen. Nur hast du den Exponenten r vergessen:

Zitat:

Original von LAgirly
... dass du n schreiben kannst als 4q+r
Dann hast du $\begin{eqnarray*} (1+i)^{4q+r} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (1+i)^{4q}*(1+i) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ((1+i)^4)^q*(1+i) \end{eqnarray*}$ =...
...

Richtig muss es heissen:

$\begin{eqnarray*} (1+i)^{4q+r} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (1+i)^{4q} \cdot (1+i)^r \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ((1+i)^4)^q \cdot (1+i)^r \end{eqnarray*}$ =...

mY+

26.11.2011, 18:53

LAgirly

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Zitat:

Original von mYthos
@LAgirly

Ein guter Ansatz, zumindest für Re und Im. Für den Betrag weniger, aber es müsste schon auch so gehen. Nur hast du den Exponenten r vergessen:

Oh sorry, das r habe ich wohl beim Tippen verschlampt, das muss selbstverständlich da stehen!

Danke fürs Korrigieren smile

smile

!

26.11.2011, 19:32

Fa Tih

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Vielen vielen Dank! Freude

Freude

ich probiers' mal, ich hoffe ich habs richtig verstanden! ^^
Also:
$\begin{eqnarray*} (1+i)^{4q+r} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (1+i)^{4q} \cdot (1+i)^r \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ((1+i)^4)^q \cdot (1+i)^r \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ((1+i)^4)^q \cdot (1+i)^n \end{eqnarray*}$

Nun darf ich die Fälle $\begin{eqnarray*} n=4q, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n=4q+1, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n=4q+2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=4q+3 \end{eqnarray*}$ betrachten:

$\begin{eqnarray*} n=4q: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ((1+i)^4)^q \cdot ((1+i)^4)^q \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (-4)^q \cdot (-4)^q \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2(-4)^q \end{eqnarray*}$ also: $\begin{eqnarray*} Re(1+i)^n = 2(-4)^q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Im(1+i)^n = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=4q+1: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 2(-4)^q + i(-4)^q \end{eqnarray*}$ also: $\begin{eqnarray*} Re(1+i)^n = 2(-4)^q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Im(1+i)^n = (-4)^q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=4q+2: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (-4)^q + i2(-4)^q \end{eqnarray*}$ also: $\begin{eqnarray*} Re(1+i)^n = (-4)^q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Im(1+i)^n = 2(-4)^q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=4q+3: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -(-4)^q + i2(-4)^q \end{eqnarray*}$ also: $\begin{eqnarray*} Re(1+i)^n = -(-4)^q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Im(1+i)^n = 2(-4)^q \end{eqnarray*}$

Ich habe einfach nur eingesetzt und ausgerechnet. Die zwichenschritte habe ich weggelassen, damit es noch einigermaßen übersichtlich ist. Sind denn nun die Real- und Imaginärteile richtig? Oder hab ich das komplett falsch verstanden?!

PS: LAgirly, wenn du an der RWTH Mathe studierst, dann ja Big Laugh

Big Laugh

26.11.2011, 21:33

mYthos

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Zitat:

Original von Fa Tih
...
Ich habe einfach nur eingesetzt und ausgerechnet.
...

Leider aber falsch. Du missachtest dabei locker einige grundlegende Gesetze.

$\begin{eqnarray*} n = 4q \ \to \ (1 + i )^{4q} = ((2i)^2)^q = -4^q \end{eqnarray*}$ .

Und
$\begin{eqnarray*} a^n \cdot a^n \end{eqnarray*}$ ist zudem NICHT $\begin{eqnarray*} 2 a^n \end{eqnarray*}$

mY+

26.11.2011, 21:46

Fa Tih

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Ja dumm von mir Hammer

Hammer

Finger1

Big Laugh

aber die vorgehnsweise ist richtig???

26.11.2011, 21:54

mYthos

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Dann, wenn du die Fehler korrigierst. Big Laugh

Big Laugh

mY+

27.11.2011, 00:00

Fa Tih

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Besten Dank!!! Freude

Freude

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