Vollständige Induktion - dn ist teilbar durch 2^n+1

25.11.2011, 19:59

mawi

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Vollständige Induktion - dn ist teilbar durch 2^n+1

Hi,

in meinem Übungsblatt muss ich diese Woche verschiedene Aussagen durch vollständige Induktion beweisen. Bei einigen Aufgaben hat das auch gut geklappt, jetzt hänge ich allerdings bei dieser Aufgabe.

1. $\begin{eqnarray*} d_{n} =3^{2^{n}} -1 \end{eqnarray*}$ ist teilbar durch $\begin{eqnarray*} 2 ^{n+1} \end{eqnarray*}$

Meine ersten Ansätze:
$\begin{eqnarray*} \exists k \in N: 3^{2^{n}} -1=2^{n+1} *k \end{eqnarray*}$ (da eine natürliche Zahl n teilbar ist, wenn ein k Element N existiert mit m*k=n)

Im ersten Schritt habe ich nun n=1 gesetzt, das ergibt 8/4=2 und ist somit wahr.
Im 2. Schritt müssen wir nun zeigen, dass die Behauptung auch für n+1 gilt.

Ich schreibe also:
$\begin{eqnarray*} 3^{2^{n+1}} -1 \end{eqnarray*}$ ist teilbar durch $\begin{eqnarray*} 2 ^{n+1+1} \end{eqnarray*}$

Allerdings weiß ich nun nicht weiter. Ich habe überlegt, ob ich evtl. das Potenzgesetz anwenden muss, in dem die Exponenten der "Doppelpotenz" miteinander multipliziert werden. Allerdings hat mich das nicht weitergebracht.

Könnt ihr mir helfen?

25.11.2011, 20:11

Calahan

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RE: Vollständige Induktion - dn ist teilbar durch 2^n+1
$\begin{eqnarray*} 3^{2^{n+1}}-1=\left(3^{2^n}-1\right)^2+2\left(3^{2^n}-1\right) \end{eqnarray*}$

25.11.2011, 20:23

mawi

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Danke für die schnelle Antwort. Kannst du evtl. kurz erläutern, wie dieser Schritt zustande kommt. Irgendwie versteh ich das nicht verwirrt

verwirrt

25.11.2011, 20:37

Calahan

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3. bin. Formel + Potenzregeln

$\begin{eqnarray*} 3^{2^{n+1}}-1=3^{2\cdot 2^n}-1=\left(3^{2^n}\right)^2-1=\left(3^{2^n}+1\right)\left(3^{2^n}-1\right) \end{eqnarray*}$

26.11.2011, 10:00

mawi

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 3^{2^{n+1}}-1=3^{2\cdot 2^n}-1 \end{eqnarray*}$

Warum wird plötzlich aus dem $\begin{eqnarray*} 3^{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} 3^{2*2^{n}} \end{eqnarray*}$ ?
Ich verstehe es so, dass du diese Potenzregel angewendet hast:
$\begin{eqnarray*} ( a^{n)^{m}}=a^{n*m} \end{eqnarray*}$

Nach meinem Verständnis käme dann aber folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} 3^{2*(n+1)}=3^{2n+2} \end{eqnarray*}$

Wo liegt hier mein Denkfehler?

26.11.2011, 10:23

riwe

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warum so kompliziert verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} 3^{2^n}-1=9^n-1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 9^{n+1}-1=9\cdot(9^n-1)+8 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

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26.11.2011, 10:30

HAL 9000

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@riwe

Es ist $\begin{eqnarray*} 3^{2^n} = 3^{\left(2^n \right)} \neq \left(3^2\right)^n \end{eqnarray*}$ , so ist nun mal die Konvention bei derartigen Potenztürmen.

Im übrigen ist $\begin{eqnarray*} 9^n-1 \end{eqnarray*}$ keinesfalls für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ teilbar, z.B. erstmals nicht für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.11.2011, 10:36

riwe

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Zitat:

Original von HAL 9000
@riwe

Es ist $\begin{eqnarray*} 3^{2^n} = 3^{\left(2^n \right)} \neq \left(3^2\right)^n \end{eqnarray*}$ , so ist nun mal die Konvention bei derartigen Potenztürmen.

Im übrigen ist $\begin{eqnarray*} 9^n-1 \end{eqnarray*}$ keinesfalls für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ teilbar, z.B. erstmals nicht für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

schande über mein haupt unglücklich

unglücklich

na wieder was (vergessenes) gelernt.
danke schön

26.11.2011, 10:43

HAL 9000

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Man könnte die Behauptung übrigens noch etwas weiter fassen, ohne dass der Beweisaufwand spürbar zunimmt:

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} d_n=3^{2^n}-1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 2^{n+2} \end{eqnarray*}$ , aber nicht durch $\begin{eqnarray*} 2^{n+3} \end{eqnarray*}$ teilbar.

26.11.2011, 10:55

mawi

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Mmh..aber wie sieht es nun aus mit der Aussage von Calahan. Ich habe schon einmal eine ähnliche Lösung gesehen und würde auch gerne damit weiterarbeiten.
Dazu würde ich es aber gerne erst verstehen und bräuchte deshalb eine Antwort auf meine Frage :-)

26.11.2011, 11:27

Calahan

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Siehst Du denn ein, dass

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2\cdot2^n~? \end{eqnarray*}$

26.11.2011, 18:54

mawi

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Ja klar, dass versteh ich :-) Jetzt sehe ich auch, was du gemacht hast. Und das Quadrat ist dann wieder die Anwendung der von mir genannten Potenzregel?

26.11.2011, 19:13

Calahan

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Zitat:

Original von mawi
Und das Quadrat ist dann wieder die Anwendung der von mir genannten Potenzregel?

Yes, sir!

26.11.2011, 20:15

mawi

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Super. Dankeschön! Freude

Freude

27.11.2011, 08:24

Maticus

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Gleich vorweg, ich studiere noch nicht (also nicht zu kritisch sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

), aber ich hätte die Funktion auf die Form :
$\begin{eqnarray*} 3^{2^{n+1}}-1=3^{2^n}*\left(3^{2^n}-1\right)+\left(3^{2^n}-1\right) \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} 3^{2^{n+1}}-1=\left(3^{2^n}-1\right)^2+2\left(3^{2^n}-1\right) \end{eqnarray*}$ gebracht. Da $\begin{eqnarray*} 3^{2^{n+1}} -1 \end{eqnarray*}$ laut IV ja durch $\begin{eqnarray*} 2 ^{n+1} \end{eqnarray*}$ teilbar ist, müsste das auch stimmen und weiteres umformen ist unnötig, oder irre ich mich und hätte Punkte abgezogen bekommen, weil ich zu früh Schluss gemacht habe?

13.07.2012, 14:51

SilverShadow

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Wie kommt man denn hier jetzt (siehe Beitrag 2 & 4) von $\begin{eqnarray*} \left(3^{2^n}+1\right)\left(3^{2^n}-1\right) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \left(3^{2^n}-1\right)^2+2\left(3^{2^n}-1\right) \end{eqnarray*}$ ?

Habe grade die gleiche Aufgabe nur mit $\begin{eqnarray*} 2^{n+2} \end{eqnarray*}$ , d. h. meine IV ist es existiert ein m in N mit $\begin{eqnarray*} 2^{n+2}m=3^{2^{n}}-1 \end{eqnarray*}$

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