Vollständige Induktion Summenformel

25.11.2011, 21:20

Chrilo

Vollständige Induktion Summenformel

Hallo zusammen,

ich hänge gerade an dieser Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \forall n \in N: \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k²} \leq 2- \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Ich habe heute schon ein paar ähnliche Induktionen gemacht, allerdings immer mit "=" (ich weiß nicht, ob das im Vorgehen einen Unterschied macht?)

Folgendes habe ich bisher gemacht:

n=1; $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^1 \frac{1}{1²} \leq 2- \frac{1}{1} =1\leq 1 \end{eqnarray*}$
-->Wahr

Danach habe ich n+1 eingesetzt.

n->n+1; $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k²} \leq 2- \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Die linke Seite ist das gleiche wie : $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k²} + \frac{1}{{(n+1)}^2} \end{eqnarray*}$ . Hierauf kann ich die IV einsetzen und erhalte:

$\begin{eqnarray*} 2- \frac{1}{n}+ \frac{1}{{(n+1)}^2} \end{eqnarray*}$

Und nun hört es leider auf. Ich habe schon versucht, die binomische Formel auszuschreiben, aber das hilft mir auch nicht weiter.

Wer hat einen Tip für mich?

25.11.2011, 21:29

Calahan

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RE: Vollständige Induktion Summenformel
Zunächst stellen wir fest:

$\begin{eqnarray*} \frac 1n-\frac 1{(n+1)^2}=\frac{n^2+n+1}{n(n+1)^2}\geq\frac{n^2+n}{n(n+1)^2}=\frac 1{n+1} \end{eqnarray*}$

Also gilt:

$\begin{eqnarray*} 2-\frac 1n+\frac 1{(n+1)^2}\leq 2-\frac 1{n+1} \end{eqnarray*}$

Das sollte den Induktionsschritt vereinfachen...

26.11.2011, 11:26

Chrilo

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Zitat:

Zunächst stellen wir fest:
$\begin{eqnarray*} \frac 1n-\frac 1{(n+1)^2}= \end{eqnarray*}$

Warum machst du plötzlich aus dem + Zeichen ein - Zeichen?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+n+1}{n(n+1)^2}\geq\frac{n^2+n)}{n(n+1)^2}=\frac 1{n+1} \end{eqnarray*}$

Was hier geschieht kann ich auch nur vermuten Big Laugh

Das du den Bruch erweitert hast sehe ich und das du danach die rechte Seite
der Ungleichung zu $\begin{eqnarray*} \frac 1{n+1} \end{eqnarray*}$ kürzt sehe ich auch, aber....

- Was passiert mit der linken Seite der Ungleichung
- Wie kannst du die Ungleichung überhaupt auf zwei seiten bringen wo doch
rechts überhaupt nichts steht verwirrt

Vielleicht könntest du bitte das ganze nochmal genauer hinschreiben, da mir scheinbar ein paar Regeln entgangen sind.

26.11.2011, 12:36

Calahan

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Zitat:

Original von Chrilo

Zitat:

Zunächst stellen wir fest:
$\begin{eqnarray*} \frac 1n-\frac 1{(n+1)^2}= \end{eqnarray*}$

Warum machst du plötzlich aus dem + Zeichen ein - Zeichen?

Wer macht denn so was? Ich jedenfalls nicht - ist ja auch verboten.

Zitat:

Original von Chrilo

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+n+1}{n(n+1)^2}\geq\frac{n^2+n}{n(n+1)^2}=\frac 1{n+1} \end{eqnarray*}$

Was hier geschieht kann ich auch nur vermuten Big Laugh

Das ist wirklich schade, denn da wurden schließlich nur zwei Brüche addiert und deren Summe dann, durch weglassen der 1 im Zähler, verkleinert - sonst ist da nix aber auch gar nix passiert!

Zitat:

Original von Chrilo
- Was passiert mit der linken Seite der Ungleichung
- Wie kannst du die Ungleichung überhaupt auf zwei seiten bringen wo doch
rechts überhaupt nichts steht verwirrt

Diese Fragen verstehe ich nicht?

Zitat:

Original von Chrilo
Vielleicht könntest du bitte das ganze nochmal genauer hinschreiben, da mir scheinbar ein paar Regeln entgangen sind.

Vielleicht gibt's in der Schulmathe workshops zur Bruchrechnung...

26.11.2011, 20:19

Chrilo

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Mmhhh komisch, ich habe gedacht hier im Forum würde man Hilfestellungen zu Mathethemen bekommen und man würde respekt- und verständnisvoll auf Probleme reagieren.

Ich glaube deine herablassenden Kommentare helfen mir bei meinem Problem nicht weiter.

Von daher würde ich sagen, dass du entweder bereit bist mir zu helfen und Verständnis dafür zeigst das manch anderer nicht sofort die Lösung blickt, oder das du es sein lässt, wenn ich unter deinem Niveau bin.

26.11.2011, 20:51

Calahan

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Zitat:

Original von Chrilo
verwirrt

Mmhhh komisch, ich habe gedacht hier im Forum würde man Hilfestellungen zu Mathethemen bekommen und man würde respekt- und verständnisvoll auf Probleme reagieren.

Womit Du nicht falsch liegst.

Zitat:

Original von Chrilo
Ich glaube deine herablassenden Kommentare helfen mir bei meinem Problem nicht weiter.

Herablassende Kommentare?
Ich hab Dir quasi die Lösung hingeschrieben.

Sorry, aber im Hochschulmatheforum habe ich mir erlaubt Bruchrechnung vorauszusetzen. Lieber mal ein deutliches Wort zur rechten Zeit als durch falsches Absoften was vorzugaukeln.

Ich will mir aber nicht nachsagen lassen nicht helfen zu wollen. Also:

Wir betrachten zunächst, einfach mal so, folgende Differenz:

$\begin{eqnarray*} \frac 1n-\frac 1{(n+1)^2}=\frac{(n+1)^2}{n(n+1)^2}-\frac n{n(n+1)^2}\\=\frac{n^2+2n+1}{n(n+1)^2}-\frac n{n(n+1)^2}\\=\frac{n^2+2n+1-n}{n(n+1)^2}\\=\frac{n^2+n+1}{n(n+1)^2}\\\geq\frac{n^2+n}{n(n+1)^2}\\=\frac{n(n+1)}{n(n+1)^2}\\=\frac 1{n+1} \end{eqnarray*}$

Wir haben also die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac 1n-\frac 1{(n+1)^2}\geq\frac 1{n+1} \end{eqnarray*}$

hergeleitet.

Multiplizieren wir nun diese Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ und addieren anschließend auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ so erhalten wir schließlich:

$\begin{eqnarray*} 2-\frac 1n+\frac 1{(n+1)^2}\leq 2-\frac 1{n+1}. \end{eqnarray*}$

Das ist nun aber genau die Ungleichung, welche im Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac 1{k^2}=\sum_{k=1}^n \frac 1{k^2}~+\frac 1{(n+1)^2}\stackrel{IV}{\leq}2-\frac 1n+\frac 1{(n+1)^2}\leq\ldots \end{eqnarray*}$

zielführend eingebracht werden kann.

Peace.

26.11.2011, 21:13

Chrilo

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Zitat:

Herablassende Kommentare? Ich hab Dir quasi die Lösung hingeschrieben.

Ja das is mr schon klar. Nur hab ich mich angegriffen gefühlt.

Ich finde es einfach momentan nur super schwer auf die wöchentlichen Matheblätter klarzukommen.
Bin jetzt im 1. Semester EHM Analysis und hoffe einfach das das im laufe des Semesters besser klappt.

Vielen Dank für deine Hilfe und deine Mühe Freude

Pace

27.11.2011, 11:12

Maticus

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Hallo, der Fragesteller scheint ja die Aufgabe verstanden zu haben, daher kann ich hoffentlich meine Rechnung posten (Ich studiere noch nicht, aber möchte mich darauf vorbereiten, von daher wäre es nett, wenn ihr mir sagen könntet, ob ich richtig liege smile

) Danke schonmal Big Laugh

Also gegeben war: $\begin{eqnarray*} \forall n \in N: \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k²} \leq 2- \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Induktionsbeginn: $\begin{eqnarray*} n=1; \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^1 \frac{1}{1²} \Rightarrow 2- \frac{1}{1} =1\leq 1 \Rightarrow wahre Aussage \end{eqnarray*}$

Also dann wollen wir mal :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k²} \leq 2- \frac{1}{n+1} <=> \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k²} + \frac{1}{(n+1)^2} \leq 2- \frac{1}{n+1} (IV)<=> - 2 + 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{(n+1)}^2} + \frac{1}{n+1} \leq 0 <=> \frac{-{(n+1)}^2 + n + n(n+1)}{n(n+1)} \leq 0 <=> \frac{ - 1}{n(n+1)} \leq 0 \end{eqnarray*}$

Letzteres ist eine wahre Aussage da gilt: $\begin{eqnarray*} \forall n \in N \end{eqnarray*}$

Hab ich alles richtig gemacht, oder muss ich noch etwas ändern, bzw. ist mein Schritt mit der IV erlaubt, denn da war ich mir nicht ganz sicher... unglücklich

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