Integration und natürliche Logarithmusfunktion

09.01.2007, 17:30

sandrasmart

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Integration und natürliche Logarithmusfunktion

hallo zusammen,
ich bin neu hier :-)
ich hoffe ihr könnt mir helfen. ich bin in der 12. klasse und bei einem thema rast unser lehrer so durch, dass ich nichts mehr verstanden habe. integrieren konnte ich immer sehr gut bis dann irgendwas mit dem logarithmus drankam...ich versteh das ganze prinzig nicht so recht und dieses ln und und und...

ich schreibe euch mal hier eine aufgabe die wir machen sollen, ich aber lieder nicht weiß wie

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{2x+3}{x^2+3x+2} ~dx \end{eqnarray*}$

ich hoffe ihr könnt mir behilflich sein, weil ich bis jetzt immer sehr gut in mathe zurechtkam bis das thema mit dem logarithmus kam

grüße
sandy

09.01.2007, 17:34

Lazarus

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Wenn du einen Logarithmus $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln\left((g(x)\right)) \end{eqnarray*}$ ableitest erhälts du $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$

Intergation als Umkehrung zur Ableitung bedeutet nun : $\begin{eqnarray*} \int~\frac{g'(x)}{g(x)}~\dd x = \ln(g(x)) + C \end{eqnarray*}$

Findest du hier g'(x) und g(x) ?

09.01.2007, 17:35

Bjoern1982

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Hallo

Es handelt sich hier um ein bestimmtes Integral und es ist erstmal wichtig hier eine Stammfunktion zu finden.
Immer wenn bei einem Bruchterm im Zähler die Ableitung des Nenners steht entspricht die Stammfunktion dem Logaritmus naturalis (ln) vom Betrag vom Nennerterm, also

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~\frac{u'(x)}{u(x)}~dx =[ln |u(x)|]_{a}^b \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Gruß Björn

09.01.2007, 18:21

sandrasmart

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danke für die hilfe :-)

hat dann nur ein integral was mit den logarithmus zu tun wenn beim integrant der zähler abgeleitet den nenner ergibt...
wie ist das dann, wenn du keinen zusammenhang siehst kannst du dann die stammfunktion finden, weil dann hilft der logarithmus doch nicht weiter oder oder muss man des dann aufteilen, da wäre nämlich noch die aufgabe b)

aber erst mal zu der a, die ich schon geschrieben habe

$\begin{eqnarray*} [ln (x^2+3x+2)] \end{eqnarray*}$ und da 1 und 0 einsetzen
wäre ln(6) richtig?
wie rechne ich das aus, am taschenrechner?

muss man sonst was wichtiges über die logarithmusfunktion wissen.
ich dachte immer logarithmus wäre was mit x als exponent zum beispiel $\begin{eqnarray*} 2^{x}=4 \end{eqnarray*}$
und das dann als logarithmus schreiben...

bin irgendwie verwirrt

ach ja und dann noch die b)

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\sqrt{3} }~\frac{x^3}{x^4+1} ~dx \end{eqnarray*}$
wie macht man das

grüße
sandy

09.01.2007, 18:27

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{x^4+1} =\frac{1}{4}\; \cdot \; \frac{4x^3}{x^4+1} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.01.2007, 18:34

sandrasmart

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*g* danke
hatte aber oben noch ein paar fragen ;-)
dazu fällt mir noch ein worin besteht der unterschied zwischen ln und log

wieso ist ln(x) abgeleitet 1/x

liebe grüße
Sandy

PS: muss ich dann die 1/4 vor das integral ziehen und da dann vor das ln schreiben?

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09.01.2007, 18:37

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} [ln (x^2+3x+2)] \end{eqnarray*}$ und da 1 und 0 einsetzen

Erstmal fehlen noch die Betragsstriche und du hast musst von ln(6) nach noch was abziehen...

Am Exaktesten ist es wenn du einfach ln(6) - ... als Ergebnis stehen lässt, alles andere sind ja eh nur gerundete Werte.

Gruß Björn

09.01.2007, 18:46

sandrasmart

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wieso betrag? muss das ergebnis positiv sein?

ok, dann ist das ergebnis ln(6)-ln(2)
kann man da ln(4) sagen?

09.01.2007, 18:54

derkoch

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Zitat:

Original von sandrasmart
wieso betrag? muss das ergebnis positiv sein?

ok, dann ist das ergebnis ln(6)-ln(2)
kann man da ln(4) sagen?

Forum Kloppe

Forum Kloppe

$\begin{eqnarray*} log(a\cdot b) = log (a) + log( b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log(\frac{a}{b})= log (a) - log (b) \end{eqnarray*}$

09.01.2007, 18:58

Bjoern1982

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Das Ergebnis muss nicht positiv sein, aber die Logarithmusfunktion ist nur für positive x-Werte definiert.

Und nein, ln(6)-ln(4) ist nicht ln(2)....ein solches Gesetz gibt es nicht.
Das kann man einfach so stehen lassen und lässt sich eben nicht weiter zusammenfassen.

ln, also der Logarithmus naturalis ist der Logaritmus zur Basis e, also quasi $\begin{eqnarray*} log_e \end{eqnarray*}$

Ein Beweis warum für die Ableitung von f(x)=ln(x) gilt, dass f '(x)=1/x findest du hier ----> http://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Ansonsten nimm es so hin und merk es dir einfach Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

09.01.2007, 18:59

Lazarus

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Zitat:

Original von sandrasmart
*g* danke
hatte aber oben noch ein paar fragen ;-)
dazu fällt mir noch ein worin besteht der unterschied zwischen ln und log

wieso ist ln(x) abgeleitet 1/x

liebe grüße
Sandy

PS: muss ich dann die 1/4 vor das integral ziehen und da dann vor das ln schreiben?

das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ auskeinen fall weglassen, ob du es nun vors integral schreibst, oder mit rein, is wurscht, da man konstante faktoren ja hin und herschieben kann wie man will.

$\begin{eqnarray*} \exp'(x)=\exp(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ln'(x)=\frac{1}{ln\left(\left[e^x\right]'\right)}=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

09.01.2007, 19:20

sandrasmart

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hey lazarus
das is mir a weng zu hoch *lach*

@der koch
nicht hauen ;-)
stimmt die regel kenne ich, wie dumm von mir dann ist die lösung von

a) ln(3)

und von

b) 1/4ln(5) aber da bin ich mir nicht sicher

so dann habe ich das mit dem integral schon ganz gut verstanden

wie ist es denn bei gleichungen:

zum beispiel ln(x) = 2
wie rechne ich das auch

danke für eure hilfe

09.01.2007, 19:33

derkoch

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Zitat:

Original von sandrasmart

@der koch
nicht hauen ;-)

zum beispiel ln(x) = 2
wie rechne ich das auch

danke für eure hilfe

ist nur in den kopf rein hämmern! Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} ln(x) = 2 \end{eqnarray*}$

willst du hier x ausrechnen, oder was meinst du ?
wenn ja, dann frage: was ist die "umkehrrechnung" zum logarithmus!

09.01.2007, 21:39

sandrasmart

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das ist hier die frage nach der umkehrung, an integral darf man da ja jetzt nicht denken wie bei den anderen zwei aufgaben.
bin jetzt verwirrt wie man das angehen soll

ich denke schon dass man x ausrechnen soll, aber die aufgabe heißt nur berechne, was hätte man denn sonst noch berechnen können? *g*

09.01.2007, 23:46

Bjoern1982

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Es gilt $\begin{eqnarray*} ln(e^x)=x \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} e^{ln(x)}=x \end{eqnarray*}$

10.01.2007, 23:35

sandrasmart

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hmm...ich überlege da grad wie man das dann auf die aufgabe ln(x)=2 überträgt.... geschockt

geschockt

ach ja, ich versuch gerade eine funktion abzuleiten, weiß aber nicht genau wie das geht

ich weiß dass die ableitung vom logarithmus 1/x ist, aber wie weiter?

aufgabe: $\begin{eqnarray*} f(x)=ln\sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$

grüße
sandy

11.01.2007, 00:17

derkoch

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Zitat:

Original von sandrasmart
hmm...ich überlege da grad wie man das dann auf die aufgabe ln(x)=2 überträgt.... geschockt

geschockt

einfach den logarithmus umkehren! ( "Exponieren" oder wie das heißt) verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von sandrasmart
ach ja, ich versuch gerade eine funktion abzuleiten, weiß aber nicht genau wie das geht

ich weiß dass die ableitung vom logarithmus 1/x ist, aber wie weiter?

aufgabe: $\begin{eqnarray*} f(x)=ln\sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$

grüße
sandy

mit der inneren ableitung multiplizieren!

11.01.2007, 17:42

sandrasmart

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ok, das heißt

$\begin{eqnarray*} ln\sqrt{1+x}= \frac{1}{\sqrt{1+x} }\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x}\cdot2\cdot1 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2+2x} \end{eqnarray*}$

und zu der aufgabe lnx = 2

$\begin{eqnarray*} \log_ex=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=e^{2} \end{eqnarray*}$

bin ich da auf dem rechten weg? *g* Prost

Prost

12.01.2007, 02:37

Bjoern1982

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Die Ergebnisse stimmen alle nur formal ist das alles nicht ganz so schön Augenzwinkern

Augenzwinkern

Besser:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln\sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => f '(x)= \frac{1}{\sqrt{1+x} }\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x}\cdot2\cdot1 } = \frac{1}{2+2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log_ex=2 | e^{()} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> x=e^{2} \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

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