Grenzwert einer Reihe

26.11.2011, 12:29

Tobi91

Grenzwert einer Reihe

Meine Frage:
Gegeben ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\frac{(3+x)^{n}}{2^{2n}} \end{eqnarray*}$
Davon soll ich nun den Grenzwert bestimmen.
Ich würde nur gerne wissen, ob meine Überlegung so stimmt, da es eine Übungsaufgabe aus dem Internet ist für eine Klausur.

Meine Ideen:
Der Grenzwert berechnet sich ja aus 1/(x-q), wobei q der Quotient ist
Die Reihe lässt sich auch schreiben als [(3+x)/4]^n
Der Quotient ist also (3+x)/4
In die Formel für den Grenzwert eingesetzt ist das Ergebnis 4/(3+x) wobei x größer -7 und kleiner 1 sein muss, weil nur für diese Werte die Reihe konvergiert.
Ist das Ergebnis so richtig?
Danke für eure Hilfe

26.11.2011, 12:41

Calahan

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RE: Grenzwert einer Reihe
Guck Dir die Sumenformel für die geometrische Reihe noch mal genau an.
Dein Ergebnis stimmt so nämlich nicht.

26.11.2011, 12:54

Tobi91

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Ah die Formel ist 1/(1+x),
somit: 4/(5x+3)
Richtig so?

26.11.2011, 17:38

maincoon

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also meiner Meinung nach lautet die Formel der geometrischen Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^k= \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

für |x|<1

demnach müsstest du dein Ergebnis nochmal überdenken

26.11.2011, 17:53

Tobi91

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aber dann müsste doch mein 1. Ergebnis stimmen, oder?

26.11.2011, 20:06

Calahan

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Zitat:

Original von Tobi91
aber dann müsste doch mein 1. Ergebnis stimmen, oder?

Nö!

26.11.2011, 21:37

Tobi91

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Also die Grenzwertbestimmung kann man mit der Formel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^k= \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Setze ich mein Quotient $\begin{eqnarray*} \frac{3+x}{4} \end{eqnarray*}$ für x ein, bekomme ich
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^k= \frac{1}{1-\frac{3+x}{4}} \end{eqnarray*}$
Soweit richtig?
Dann wäre mein Endergebnis nun -4/x

27.11.2011, 09:28

maincoon

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also bis hier ist alles richtig:

Setze ich mein Quotient $\begin{eqnarray*} \frac{3+x}{4} \end{eqnarray*}$ für x ein, bekomme ich
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^k= \frac{1}{1-\frac{3+x}{4}} \end{eqnarray*}$

Allerdings solltest du dann mal deine Zwischenschritte aufschreiben, ich habe ein anderes Ergebnis raus.

28.11.2011, 00:42

Tobi91

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So noch ein Versuch Big Laugh

:
Ich teile nun den Bruch auf: $\begin{eqnarray*} \ \frac{1}{1-\frac{3+x}{4}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-(3/4+x/4)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-3/4-x/4} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1/4-x/4} \end{eqnarray*}$
und mein endgültiges Ergebnis lautet dann 4/(1-x). So nun richtig?

28.11.2011, 06:59

maincoon

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