rechnen mit fakultäten

26.11.2011, 13:09

dark123

rechnen mit fakultäten

Hi,

kann mir jemand sagen wie man beim rechnen und umformen mit fakultäten vorgeht?
Also z.b. wenn ich folgendes addieren will:

$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{3} + \binom{n+1}{2} = \frac{(n+1)!}{3!*(n-3)!} + \frac{(n+1)!}{2!*(n-2)!} \end{eqnarray*}$

also wie kann ich jetzt z.b

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{3!*(n-3)!} \end{eqnarray*}$

so umformen dass folgendes ergebnis gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{n*(n-1)(n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

ich versteh nicht wie man ausdrücke wie:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$

umformen kann.

lg

26.11.2011, 13:20

Cel

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Hey,

setze einfach die Definition mit Pünktchenschreibweise ein. Es gilt doch $\begin{eqnarray*} n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n \end{eqnarray*}$ , wie ist das dann mit $\begin{eqnarray*} (n-1)! \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (n-3)! \end{eqnarray*}$ ?

Der Rest ist nur noch kürzen.

26.11.2011, 13:42

dark123

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ja das hab ich mir schon überlegt. nur seh ich beim besten willen nicht wie mir

$\begin{eqnarray*} n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n \end{eqnarray*}$

helfen soll.

ich hab hier ja keine werte für n.

lg

26.11.2011, 13:58

Cel

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Macht doch nichts. Du kannst doch auch $\begin{eqnarray*} \frac{n \cdot n}{n} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kürzen, ohne zu wissen, was n ist (na ja, nicht gerade 0, aber sonst).

Setz einfach mal die Definition in deinen Bruch ein und guck, was sowohl im Zähler als auch Nenner steht. Das kannst du dann kürzen.

26.11.2011, 14:14

dark123

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nein das mit dem kürzen weiss ich schon. ich komm nur noch nicht so weit dass ich kürzen kann :-)

also wenn:

$\begin{eqnarray*} n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n \end{eqnarray*}$

dann ist:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = 1*(n-1) * 2*(n-1) \cdot \dots(n-1) = n * (n-1) \end{eqnarray*}$

ich denke aber wohl eher nicht :-)

26.11.2011, 14:41

Cel

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Zitat:

Original von dark123
also wenn:

$\begin{eqnarray*} n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n \end{eqnarray*}$

dann ist:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = 1*(n-1) * 2*(n-1) \cdot \dots(n-1) = n * (n-1) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Setz doch mal ein konkretes n ein.

3! = 1*2*3 (n=3)

Was ist jetzt 4! ? Das ist (3+1)! = 1*2*3*4, deine Formel sagt mir, 3*2. Das kann also nicht stimmen.

In Worten heißt die Fakultät einer Zahl einfach, alle natürlichen Zahlen bis zu der gewünschten Zahl zu mutiplizieren, "n Fakultät gleich eins mal zwei mal drei ... mal n." Man hängt immer noch eine Zahl mehr dran:

1! = 1
2! = 1*2
3! = 1*2*3
4! = 1*2*3*4

n! = 1*2*3*4*...*n

Was ist dann wohl (n+1)! ?

26.11.2011, 15:06

dark123

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Zitat:

1! = 1
2! = 1*2
3! = 1*2*3
4! = 1*2*3*4

n! = 1*2*3*4*...*n

Was ist dann wohl (n+1)!

Also ich hab jetzt das gleiche für n+1 gemacht. sehen tu ich aber immern noch nicht
wie mir das weiterhelfen soll. deine erklärungen zur fakultät versteh ich auch alle und sind mir auch bekannt, nur schaff ichs trotzdem nicht das auf etwas anderes als n! umzusetzen.

(1+1)! = 1*2
(2+1)! = 1*2*3
(3+1)! = 1*2*3*4

(n+1)! = 2*3*4.....(n+1) ???

26.11.2011, 15:41

HAL 9000

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Ich versuch's mal so zu erklären:

Die Zahl $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ ist um genau $\begin{eqnarray*} (n+1)-(n-3)=4 \end{eqnarray*}$ Einheiten größer als $\begin{eqnarray*} (n-3) \end{eqnarray*}$ . Demnach enthält das Produkt

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n\cdot (n+1) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

genau 4 Faktoren mehr als das Produkt

$\begin{eqnarray*} (n-3)! = 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (n-4)\cdot (n-3) \end{eqnarray*}$ ,

und zwar sind das die 4 Faktoren am Ende von Produkt (*). Also ergibt das Kürzen in der Quotientenbildung das Produkt genau dieser 4 Endfaktoren:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{(n-3)!} = (n-2)(n-1)n(n+1) \end{eqnarray*}$ ,

und das gilt nun für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ (diese Einschränkung muss gemacht werden, damit der Nenner $\begin{eqnarray*} (n-3)! \end{eqnarray*}$ definiert ist).

26.11.2011, 16:04

dark123

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ok das hab ich soweit verstanden. das heisst ich kann mit einem ausdruck wie:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$

alleine garnichts anfangen? also nicht irgendwie umformen?

erst wenn eine fakultät im bruch gegeben ist, muss ich schauen was is größer
und kürze die restlichen einheiten weg. ist das soweit richtig?

26.11.2011, 17:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von dark123
ok das hab ich soweit verstanden. das heisst ich kann mit einem ausdruck wie:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$

alleine garnichts anfangen?

So würde ich es nicht formulieren. Zumindest wirst du aber das Fakultätszeichen nicht ohne adequaten Ersatz (Produkt mit variabler, d.h. von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängiger Faktorenzahl o.ä.) los.

26.11.2011, 19:08

dark123

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ok eine frage noch dazu. die schritte:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n\cdot (n+1) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

genau 4 Faktoren mehr als das Produkt

$\begin{eqnarray*} (n-3)! = 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (n-4)\cdot (n-3) \end{eqnarray*}$

muss ich immer so ausführen? oder gibts da regeln dazu? weil was wenn ich einen komplizierteren ausdruck gegeben habe?

26.11.2011, 20:44

Cel

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Das ist keine Regel, das ist einfach die Definition. Auch, dass der eine Term 4 Faktoren mehr hat:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (n-4) \cdot (n-3) \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n-3)! = 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (n-4)\cdot (n-3) \end{eqnarray*}$

26.11.2011, 23:04

xxmaxx

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ich hätte dazu auch eine frage. muss man immer nach dem fogenden schema vorgehen oder gibt es einen einfacheren weg?

27.11.2011, 10:55

HAL 9000

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Noch einfacher? Das ist doch schon sehr einfach. Wenn es kompliziert und umständlich aussieht, dann deswegen, weil wir es so ausführlich aufschreiben mussten - vorher hattest du es ja noch nicht begriffen.

27.11.2011, 13:14

Cel

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Zitat:

Original von xxmaxx
ich hätte dazu auch eine frage. muss man immer nach dem fogenden schema vorgehen oder gibt es einen einfacheren weg?

Auch? Du bist identisch mit dark123, schreib mir bitte eine PN, welchen Account du behalten möchtest, den anderen werden wir löschen. Falls du dich nicht meldest, werden wir den Account "dark123" entfernen, da dieser der jüngere ist.

Edit: Hat sich erledigt. $\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$

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