Extremwertprobleme

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26.11.2011, 13:13	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertprobleme Meine Frage: Ich bin total ratlos, welche Nebenbedingungen ich aufstellen könnte um diese Aufgabe zu lösen... der Themenbereich ist noch aus dem letzten Schuljahr... Aufgabe: Einem Kreis mit Radius r=10cm wird das Netzt einer Quadratischen Pyramide einbeschriebe. Wie groß kann das Volumen der Enstehenden Pyramide höchstens werden, wie groß ist in diesem Fall die Pyramidenoberfläche Meine Ideen: Pyramide: V= $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}G h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A= G\cdot 4\cdot \frac{1}{2}g\cdot h \end{eqnarray}$ Kreis: $\begin{eqnarray} U= 2r\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A= r²\pi \end{eqnarray}$
26.11.2011, 13:42	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertprobleme Mache dir mal Gedanken zum Radius: Wie kann er in die Volumenformel für die Pyramide einfließen? Denke dabei an a und ha (Höhe über der Seite). Beachte auch, dass du bei deiner Volumenformel und der Oberflächenformel zwei verschiedene h hast. Kommst du schon ein bisschen weiter?
26.11.2011, 14:31	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm vielleicht könnte man ja sagen dass ha gleichgroß der länge/breite der quadratischen grundfläche ist ... dann wären alles 3 Längen jeweils 10/3 :S
26.11.2011, 14:35	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbst wenn dem so wäre, müssten wir es rechnerisch beweisen... Wenn du dir die Zeichnung anschaust, was fällt dir dann zu dem Radius auf? Schau dir seinen Verlauf in der Pyramide an.
26.11.2011, 14:43	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
das der radius die hälte der grundflächenlänge ist + ha ?
26.11.2011, 14:50	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, man kann also sagen: $\begin{eqnarray} \frac{a}{2}+h_a = 10 \end{eqnarray}$ Das ist unsere NB. Die HB ist die Volumenformel: $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3}\cdot a^2\cdot h \end{eqnarray}$ Nun müssen wir entscheiden, welche der Variablen aus der HB wir ersetzen wollen.
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26.11.2011, 15:11	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich dneke es bietet sich nur a an.. also löse ich jetzt die NB nach a auf: a = 20- 2ha das kann ich dann in die HB einsetzen: $\begin{eqnarray} v = \frac{1}{3} \cdot (20 - 2h_{a} )^{2} \cdot h \end{eqnarray}$ und davon mache ich doch jetzt die Ableitung... und die Setze ich dann gleich 0, oder ist das falsch? :S
26.11.2011, 15:17	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, soweit ist es richtig, aber du hast noch 2 Variablen in deiner Formel: h und ha. Eine der beiden muss noch ersetzt werden. Ich habe übrigens beide Varianten durchgerechnet und finde es (für mich) leichter, wenn h ersetzt wird. Man hat dann allerdings einen Wurzelausdruck, der abgeleitet werden muss.
26.11.2011, 15:24	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke =D Und tut mir leid dass ich mich so doof anstelle, aber wie finde ich h heraus?
26.11.2011, 15:31	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem, frag ruhig, wenn du Fragen hast, dafür gibt es doch das Board. In der Pyramide hast du die Beziehung: $\begin{eqnarray} h_a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2} \right) ^2 \end{eqnarray}$ Ich würde dabei auch die schon bekannte Beziehung ins Spiel bringen: $\begin{eqnarray} \frac{a}{2}+h_a = 10 \end{eqnarray}$
26.11.2011, 15:47	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
also dann wäre h: $\begin{eqnarray} h= \sqrt{(\frac{a}{2})² - h_{a}² } \end{eqnarray}$ aber könnte ich das auch nur anhand der Gleichung machen? $\begin{eqnarray} \frac{a}{2}+h_a = 10 \end{eqnarray}$ also dass ich so nach ha auflöse und rausbekomme $\begin{eqnarray} h_{a} = 10 - \frac{a}{2} \end{eqnarray}$ ? Vielen Dank =)
26.11.2011, 15:58	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du kannst es so machen, ha² in der Wurzel ersetzen. Alternativ kannst du auch so vorgehen: $\begin{eqnarray} \frac{a}{2}+h_a = 10 ~ \Rightarrow ~h_a^2 = \left(10 - \frac{a}{2}\right) ^2 \end{eqnarray}$ Wenn du jetzt hiermit gleichsetzt: $\begin{eqnarray} h_a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2} \right) ^2 \end{eqnarray}$ Kannst du nach a auflösen und die Wurzel vermeiden.
27.11.2011, 17:34	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
oh also meinst du : $\begin{eqnarray} a²= 4(8h_{a}²- h²) \end{eqnarray}$ aber das kann ich doch jetzt nicht in die V-Formel einsetzen oder? :S
27.11.2011, 17:41	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich meine: $\begin{eqnarray} ~h_a^2 = \left(10 - \frac{a}{2}\right) ^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2} \right) ^2 \end{eqnarray}$ Und somit: $\begin{eqnarray} \left(10 - \frac{a}{2}\right) ^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2} \right) ^2 \end{eqnarray}$ Jetzt musst du die linke Klammer auflösen (2. binom. Formel), dann kannst du das $\begin{eqnarray} \left(\frac{a}{2} \right) ^2 \end{eqnarray}$ rausstreichen und du erhältst einen Ausdruck für a.
27.11.2011, 17:59	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
also: $\begin{eqnarray} h²= 100 - 20\frac{a}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = \frac{2(h² -100)}{- 20} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = -\frac{h² -100}{10} \end{eqnarray}$ setze ich dann das a in die NB ein oder wie? :S
27.11.2011, 18:11	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Gleichung würde ich etwas vereinfachen: $\begin{eqnarray} a = 10-\frac{1}{10}h^2 \end{eqnarray}$ Und jetzt in die HB einsetzen.
27.11.2011, 18:31	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
uff ich stell mich aber auch doof an -.- $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3}\cdot (10-\frac{1}{10}h²)² \cdot h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3}\cdot (100 - 2h² + \frac{1}{100}h^{4}) \cdot h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V = 33\frac{1}{3} - \frac{2}{3}h² + \frac{1}{300}h^{4} \end{eqnarray}$
27.11.2011, 18:38	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo ist der Faktor h in der letzten Gleichung hingekommen?
27.11.2011, 18:42	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
oh ja =D auf meinem Blatt steht er, hab ihn hier vergessen ... muss ich dann jetzt noch iwas machen ? :S
27.11.2011, 18:42	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt wird abgeleitet, dann kannst du das h berechnen.
27.11.2011, 18:50	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} V'(h)=33\frac{1}{3}-1\frac{1}{3}h +\frac{1}{75}h³ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V'(h)= 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0= 33\frac{1}{3}-1\frac{1}{3}h +\frac{1}{75}h³ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -33\frac{1}{3}=-1\frac{1}{3}h +\frac{1}{75}h³ \end{eqnarray}$ [latex]-33\frac{1}{3}=h(-1\frac{1}{3} +\frac{1}
27.11.2011, 18:51	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -33\frac{1}{3}=h(-1\frac{1}{3} +\frac{1}{75}h²) \end{eqnarray}$
27.11.2011, 18:54	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast den Faktor h nicht berücksichtigt... $\begin{eqnarray} V(h) = \frac{100}{3}h - \frac{2}{3}h^3 + \frac{1}{300}h^5 \end{eqnarray}$ Wenn du das ableitest, erhältst du: $\begin{eqnarray} V'(h) = \frac{100}{3} - 2h^2+ \frac{1}{60}h^4 \end{eqnarray}$ Das ist eine biquadratische Gleichung, du solltest also eine Substitution vornehmen.
27.11.2011, 19:04	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
ohh ja stimmt.. Also wenn ich die Ableitung weiter kürze kommt das raus: $\begin{eqnarray} -33\frac{1}{3}=-2h² +\frac{1}{60}h^{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -33\frac{1}{3}= -2t +\frac{1}{60}t^{2} \end{eqnarray}$ Das Substitutionsverfahren haben wir bis jetzt komischerweise nie verwendet, also auch nicht gelernt... Ist es für das Abi zwingend notwendig? :S
27.11.2011, 19:08	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das lernt man in der Mittelstufe... So, jetzt hast du eine quadratische Gleichung vorliegen, da solltest du eigentlich Methoden kennen, um sie zu lösen.
27.11.2011, 19:39	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich würde jetzt die Mitternachtsformel anwenden.. $\begin{eqnarray} \frac{2\pm \sqrt{4-4\cdot \frac{1}{60} \cdot 33\frac{1}{3} } }{\frac{1}{30}} \end{eqnarray}$ da bekomm ich gerundet für t1= 104,7 t2 = 15,27 also : h1= 10,2 h2= 3,91
27.11.2011, 19:44	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich dieses Monster sehe, weiß ich, warum ich die pq-Formel benutze... $\begin{eqnarray} -33\frac{1}{3}= -2t +\frac{1}{60}t^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 =\frac{1}{60}t^{2}-2t +33\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 =t^{2} - 120t +2000 \end{eqnarray}$ Sieht viel einfacher aus, ist viel einfacher und führt daher vermutlich auch zum richtigen Ergebnis. Deines ist nämlich leider falsch...
27.11.2011, 19:51	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich hab mir schon iwie gedacht, dass es wohl falsch ist Also, da ich keine Ahnung hab was eine pq-Formel ist hab ich die Mitternachtsformel einfach nochmal mit deiner Gleichung gemacht da bekomm ich jetzt t1 = 100 und t2 = 20 raus... stimmt das?
27.11.2011, 20:03	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt ist es richtig. Weil du aber substituiert hast, muss jetzt noch mal bei beiden Ergebnissen die Wurzel gezogen werden.
27.11.2011, 20:04	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
genau =) also dann ist: h1= 10 h2 = 4,47 (gerundet)
27.11.2011, 20:08	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. Der kleinere Wert ist genauer mit 2*(Wurzel 5) angegeben. Welches der Ergebnisse ist nun das, was wir brauchen?
27.11.2011, 20:29	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen eine Höhe von 10cm macht keinen Sinn, denn das entspräche ja dem Radius und dann wäre a = 0 und es gäbe keine Grundfläche --> wenn man h2 in die Gleichung einsetzt: $\begin{eqnarray} 10-\frac{2\sqrt{5} }{10} \end{eqnarray}$ bekomme ich a=8 raus und dass dan in die Volumenformel: $\begin{eqnarray} V=\frac{1}{3}\cdot 64\cdot 2\sqrt{5} \end{eqnarray}$ ergibt bei mir 95,41 cm³ :S
27.11.2011, 20:30	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
und ha ist bei mit 6 cm
27.11.2011, 20:33	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles richtig.
27.11.2011, 20:38	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
ok vielen Dank damit hätte sich die Aufgabe oder? Wenn ich jetzt noch bei einer Extremwertaufgabe Hilfe brauche, kann ich dass dann auch gleich hier mit reinschreiben?
27.11.2011, 20:42	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Man hätte noch die zweite Ableitung machen können (bzw. müssen ) um nachzuweisen, dass man ein Maximum vorliegen hat. Wenn du eine neue Aufgabe hast, schreibe sie bitte in einen neuen Thread.
27.11.2011, 21:12	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
ok :S davon wusste ich bis jetzt noch nichts also die zweite Ableitung: $\begin{eqnarray} V''(h) = -4h + \frac{1}{15}h³ \end{eqnarray}$ und damit macht man jetzt was? also ich gehe mal davon aus, wenn es etwas mit dem Maximum zu tun hat, muss ich V''(h) = 0 setzen.. $\begin{eqnarray} 0=-4h + \frac{1}{15}h³ \end{eqnarray}$
27.11.2011, 21:21	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst jetzt deinen gefundenen Wert einsetzen und schauen, ob er (für ein Maximum) kleiner als 0 ist.
27.11.2011, 21:31	261111	Auf diesen Beitrag antworten »
ok vielen Dank =D Ich bekomme ungefäht minus 12 raus, also ist es ein Maximum
27.11.2011, 21:33	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt.

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