Konvergenz einer Reihe bestehend aus zwei Reihen

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26.11.2011, 14:30	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe bestehend aus zwei Reihen Meine Frage: S ist wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} S= \sum \limits_{k=2}^{\infty}\frac{3^{k+1}}{6^{k}} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (-6)^{k-1} (\frac{1}{3})^{2k} \end{eqnarray}$ Konvergiert S? Wenn ja gegen welchen Wert? Meine Ideen:* Also mein Ansatz wäre: Laut den rechenregeln würden sie konvergierenn, da ich die Reihen nur addieren darf, wenn sie konvergent sind. Ist es denn hier auch so, wenn wie hier die Anfangswerte (k) unterschiedlich sind. Einmal k=1 und einmal k=2?? Meine nächste Frage wäre, wie soll ich vorgehen, kann ich sie getrennt betrachten, oder muss ich das sogar?? Bei der ersten Reihe würde ich dann sagen sie konvergiert gegen 1,5. Dankeschön
26.11.2011, 15:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenanfänge sind unwichtig für die Frage Konvergenz/Divergenz einer Reihe - sie spielen aber sehr wohl eine Rolle, wenn es um die genaue Berechnung des Reihenwertes geht. Im vorliegenden Fall sind beide Summanden geometrische Reihen, dazu musst du nur mal die Reihenglieder ein wenig umformen, unter Nutzung der Potenzgesetze. Damit sollte dann auch klar sein, wie der Reihenwert berechnet werden kann.
26.11.2011, 16:11	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich denn auf die Frage: Konvergiert S? Beantworten, Ja. Da ich nur eine Summe bilden kann, wenn beide konvergent sind? Ja vereinfacht hatte ich sie schon, aber ich sehe trotzdem nichts $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^{\infty} \frac{3}{2^k} +\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-6)^{k-1}}{3^{2k}} \end{eqnarray}$ Und dann habe ich das Quqtientenkriterium angwandt, ich weiß aber nicht, ob das der richtige weg ist.
26.11.2011, 16:15	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte: $\begin{eqnarray} 3^{2k} = (3^2)^k = 9^k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (-6)^{k-1} = \frac{-1}{6}\cdot (-6)^k \end{eqnarray}$
26.11.2011, 16:21	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Was wiederum $\begin{eqnarray} \frac{2^{k-1}}{3^k} \end{eqnarray}$ ist
26.11.2011, 16:28	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{(-2)^{k-1}}{3^k}=-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{-2}{3}\right)^k \end{eqnarray}$
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26.11.2011, 16:42	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
warum denn $\begin{eqnarray} \frac{(-2)^{k-1}}{3^k} \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} \frac{-1}{6}(-6^k) = \frac{-1-6^k}{6}=\frac{6^k}{6}= 6^k6^{-1}=6^{k-1} \end{eqnarray}$ und daraus folgt doch: $\begin{eqnarray} \frac{6^{k-1}}{9^k}=\frac{2^{k-1}}{3^k} \end{eqnarray*}$ ich finde meinen Fehler nicht
26.11.2011, 17:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Geradezu fahrlässig, dein Umgang mit Vorzeichen. $\begin{eqnarray} (-6^k) = -\underbrace{6\cdot 6\cdot \ldots \cdot 6}_{k\;\mbox{Faktoren}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-6)^k = \underbrace{(-6)\cdot (-6)\cdot \ldots \cdot (-6)}_{k\;\mbox{Faktoren}} \end{eqnarray}$
26.11.2011, 17:23	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
ok,ja jetzt sehe ich es auch....leider weiß ihc nicht so genau wie ich jetzt weiter machen soll, nutze ich jetzt wie vorhin erwähnt einer der Kriterien, wie ich das Quotientenkriterium, oder ist das der falsche ansatz?? Haben nun stehen: $\begin{eqnarray} S=\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{3}{2^k}+\sum\limits_{k=1}^{\infty} -\frac{1}{2}(\frac{-2}{3})^{k} \end{eqnarray*}$ oder lasse ich das Summenzeichen weg und setzte meine "k's" ein??
26.11.2011, 17:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vorfaktor in der zweiten Summe ist falsch: Wieso hast du da $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ? Weiter oben stand schon mal das richtige $\begin{eqnarray} -\frac{1}{6} \end{eqnarray}$ , keine Ahnung, wie du jetzt auf diesen anderen falschen Wert kommst. Ansonsten: Was gibt's denn jetzt noch groß zu palavern? Den Reihenwert der geometrischen Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|q\|<1 \end{eqnarray}$ solltest du noch aus der Schule kennen. Und wenn die Reihe mal nicht bei $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ anfängt, na dann richtet es eine vorherige Indexverschiebung $\begin{eqnarray} j=k-k_0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \sum_{k=k_0}^{\infty} q^k = \sum_{j=0}^{\infty} q^{j+k_0} = q^{k_0}\cdot \sum_{j=0}^{\infty} q^j = \frac{q^{k_0}}{1-q} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|q\|<1 \end{eqnarray}$ .
26.11.2011, 19:10	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe nun den Wert $\begin{eqnarray} S= \frac{47}{30} \end{eqnarray}$ raus.

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