Ableitung der Identität

26.11.2011, 15:43

Lisa92

Ableitung der Identität

Meine Frage:
Hallo, ich möchte wissen, warum die Ableitung der Identität wieder die Identität ist.

Meine Ideen:
Wenn ich nämlich f(x) = A * x schreibe, dann ist die Ableitung A, ist A die Einheitsmatrix, so ist f(x) = E * x, f'(x) = E.
Die Ableitung der Identität wäre also die Einheitsmatrix, deren Ableitung aber die Null, also ist die Einheitsmatrix nicht mehr die Identität... Wo ist mein Denkfehler?

26.11.2011, 15:49

Helferlein

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Die Identität ist $\begin{eqnarray*} E \cdot x \end{eqnarray*}$ und nicht E.
Denk mal ans Eindimensionale: $\begin{eqnarray*} f(x)=x \Rightarrow f'(x)=1\neq1x \end{eqnarray*}$

26.11.2011, 15:49

tigerbine

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RE: Ableitung der Identität
Machen wir es eindimensional. Die Identität ist dir Funktion f(x)=1*x. Die Ableitung ist f'(x)=1, also nicht mehr die Identität.

26.11.2011, 15:50

Lisa92

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Vielen Dank für die schnelle Antwort, aber dann ist doch die Ableitung der Identität nicht mehr die Identität...

26.11.2011, 15:51

tigerbine

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Verstehe das "aber" nicht. Deine Aussage ist ja auch nicht richtig... verwirrt

26.11.2011, 15:52

Helferlein

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Ist sie ja auch nicht. Hat jemand etwas anderes behauptet?

Falls noch mehr Fragen kommen, mach Du weiter bine.

26.11.2011, 15:54

Lisa92

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Tut mir Leid für die Verwirrung die ich hier stifte,
aber ist das Differential nicht wieder eine lineare Abbildung? Wenn das differential nun die Einheitsmatrix ist, und ich die Einheitsmatrix nun auf einen Vektor anwende, ist das doch die Identität oder?

26.11.2011, 16:08

tigerbine

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Da verwechselst du was, wir haben es ja eindeutig widerlegt.

Du meinst mit linear nicht eher das hier.
http://de.wikipedia.org/wiki/Differentia...ntialoperatoren

26.11.2011, 23:14

Lisa92

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Was ich meine ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f(b)-f(a)-L*(b-a)}{||b-a||} = 0 \end{eqnarray*}$
Dabei ist doch die lineare Abbildung L, die das schafft, das totale Differential.
[latex]\lim_{x \to a} \frac{f(b)-f(a)}{||b-a||} = \frac{L*(b-a)}{||b-a||}[latex]
Nach umstellen erhalte ich für das totale Differential, also den Teil links, jedoch etwas abweichendes von L rechts. Was genau ist denn nun das totale Differential? Nur das L, oder das L*(a-b)/||a-b||.
Im eindimensionalen gilt doch f'(a) = f(b)-f(a) / (b-a).
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen...

26.11.2011, 23:16

Lisa92

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Was ich meine ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f(b)-f(a)-L*(b-a)}{||b-a||} = 0 \end{eqnarray*}$
Dabei ist doch die lineare Abbildung L, die das schafft, das totale Differential.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f(b)-f(a)}{||b-a||} = \frac{L*(b-a)}{||b-a||} \end{eqnarray*}$
Nach umstellen erhalte ich für das totale Differential, also den Teil links, jedoch etwas abweichendes von L rechts. Was genau ist denn nun das totale Differential? Nur das L, oder das L*(a-b)/||a-b||.
Im eindimensionalen gilt doch f'(a) = f(b)-f(a) / (b-a).
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen...

26.11.2011, 23:56

sergej88

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Hallo,

natürlich ist das Differentail einer Funktion eine lineare Abbildung. Auch im eindimensionalen nur wird dort dieses oft unterdrückt.

Seien $\begin{eqnarray*} V,W \end{eqnarray*}$ zwei reelle Vektorräume und $\begin{eqnarray*} U \subset V \end{eqnarray*}$ offen. Die Funktion
$\begin{eqnarray*} f:U \longrightarrow V \end{eqnarray*}$ heisst differenzierbar in $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ falls es eine lineare Abbildung
$\begin{eqnarray*} L = L(x): V \longrightarrow W \end{eqnarray*}$ gibt sodass gilt
$\begin{eqnarray*} \underset{h \to 0}{\lim}\frac{\Vert f(x+h) - f(x) - Lh\Vert_W}{\Vert h \Vert_V} = 0 \end{eqnarray*}$

Bzw. äquivalent die Darstellung $\begin{eqnarray*} f(x + h) = f(x) + L(x)h + o(\Vert h \Vert) \end{eqnarray*}$

Wenn wir für alle $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ obige Eigenschaft haben, so erhalten wir eine Abbildung
$\begin{eqnarray*} L: U \longrightarrow Hom(V,W), \ \ x \longmapsto L(x)\in Hom(V,W) \end{eqnarray*}$ .
Gelegentlich schreibt man auch $\begin{eqnarray*} L(x) = f'(x) = df_x \end{eqnarray*}$ .

Benutzen wir dieses jetzt für eine Dimension, also $\begin{eqnarray*} V = W = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Dann haben wie die Bedingung $\begin{eqnarray*} f(x+h) = f(x) + f'(x)h + o(|h|) \end{eqnarray*}$
welches ja gerade die gewöhnliche Differenzierbarkeit ist. Der Springende Punkt ist, dass im eindimensionalen aber auch im allgemeinen Fall die Abbildung
$\begin{eqnarray*} f': U \longrightarrow Hom(\mathbb{R},\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ nicht linear sein braucht. Gefordert ist, dass
$\begin{eqnarray*} f'(x) \in Hom(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ linear ist. Also als Abbildung $\begin{eqnarray*} v \longmapsto f'(x)\cdot v \end{eqnarray*}$ .
Verwirrung entsteht wegen $\begin{eqnarray*} Hom(\mathbb{R},\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dass also jeder Homomorphismus mit einer Zahl eben $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ indentifiziert werden kann. Man vergisst dann den Abbildungscharakter.

Kommen wir jetzt zum allgemeinen Vektorräumen $\begin{eqnarray*} V,W \end{eqnarray*}$ und einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V \longrightarrow W \end{eqnarray*}$ . Diese ist überall differenzierbar, denn wir können schreiben

$\begin{eqnarray*} f(x + h) = f(x) + f(h) + 0 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} L(x): V \longrightarrow W \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} L(x)h := f(h) \end{eqnarray*}$ .
Entsprechend ist $\begin{eqnarray*} x \longmapsto L(x) \end{eqnarray*}$ eine konstante Abbildung, aber das Differential ist an jedem Punkt eine lineare Abbildung.

Ich hoffe das hilft dir beim Verständnis.

mfg

27.11.2011, 00:13

Lisa92

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Vielen Dank, ja, das geht in die Richtung die ich meine.
Nur wenn ich das nun auf die Identität anwende, dann heißt das doch dass die Ableitung die Einheitsmatrix ist, das Differential jedoch wieder die Identität?

27.11.2011, 00:20

sergej88

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Zitat:

Original von Lisa92
Nur wenn ich das nun auf die Identität anwende, dann heißt das doch dass die Ableitung die Einheitsmatrix ist, das Differential jedoch wieder die Identität?

Das Differential ist die Identität also $\begin{eqnarray*} d(id_V)_x = id_V \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ beliebig und V der entsprechende Vektorraum.
Beachte, dass die Einheitsmatrix eine Darstellung in der Basis ist. Die Ableitung und das Differential kann man Synonym verwenden, wichtig ist nur dass du unterscheidest zwischen der linearen Abbildung, die du erhälst wenn du das Differential Punktweise auswertest und der Abbildung des Raumes in den Raum der Homomorphismen. Siehe dazu meinen Beitrag.

mfg

27.11.2011, 00:24

Lisa92

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Vielen Dank! Jetzt versteh ich das erst.. Hatte mich immer gewundert dass die Ableitung der Identität wieder die Identität sein soll, dabei habe ich gar nicht bedacht dass das Differential und die Ableitung zwei par Schuhe sind...

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