Untersuchung auf (absolute) Konvergenz o. Divergenz

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Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchung auf (absolute) Konvergenz o. Divergenz
Meine Frage:
Ich soll diese Folge hier auf Konvergenz, absolute Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen.




Meine Ideen:

Ich würde das jetzt mit dem Leibniz-Kriterium machen wollen.
Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, wie das jetzt gehen soll, weil ich vielelciht auch das Prinzip nicht ganz durchschaut habe.

Es geht doch im Grunde darum, dass ich eine monoton fallende Nullfolge in der zu untersuchenden Reihe habe, oder ?


Durch als Teilfoge der Folge wäre das doch gegeben, oder?
kann ich das einfach mit den Grenzwertsätzen beweisen, also dass diese Folge gegen Null konvergiert ?


Was ich jetzt allerdings weiterhin anwenden muss ist mir nicht ganz klar?
Und wenn ich die Konvergenz mit diesem Kriterium bewiesen habe, ist damit auch die absolute Konvergenz bewiesen, ich denke nicht, oder ?

Vielleicht ziemlich blöde Fragen ..
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung auf (absolute) Konvergenz o. Divergenz
Die Reihe



konvergiert, wenn eine monoton fallende Nullfolge ist. In deinem Fall ist



Die ist nicht für alle monoton fallend, denn ist zum Beispiel größer als . Aber für große n wächst der Nenner später viel, viel schneller und dann fällt die Folge auch monoton. Das reicht dann.

Mehr ist da eigentlich nicht zu tun. Oder müsst ihr wirklich noch zeigen, dass die Folge auch wirklich monoton fällt? Ich kenne euren Wissensstand ja nicht, aber eigentlich ist das ja offensichtlich.

Absolute Konvergenz ist damit natürlich nicht gezeigt, nein. Dazu schaust du dir an, ob



konvergiert. Im Klartext: Einfach das (-1)^n rausstreichen und die dann entstehende Reihe auf Konvergenz untersuchen. Das geht zum Beispiel mit dem Majorantenkriterium.
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung auf (absolute) Konvergenz o. Divergenz
Also Die Aufgabenstellung ist wirklich die, die Reihe auf Konvergenz, absolute Konvergenz bzw. Divergenz zu untersuchen.. Ich wieß da ehrlich gesgat nicht, ob auch das monotonieverhalten gefragt ist.
Aber reicht es denn ,es einfach nur anhand ein paar Folgeglieder zu zeigen? Muss dass nicht auch allgemein zu zeigen sein? So wie mit dem Wurzel- oder Quotienten-Kriterium? Die zeigen dass ja dann auch, ob die Folge absolut konvergent wäre..

Wenn ich dann aber das einfach rausstreiche, zeig ich dann nicht die Konvergenz der Folge , die du grade als so offenstichtlich konvergent beschrieben hast?

Also brauch ich Leibniz dafür überhaupt nicht?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung auf (absolute) Konvergenz o. Divergenz
Zitat:
Original von Traumtänzerin
Also Die Aufgabenstellung ist wirklich die, die Reihe auf Konvergenz, absolute Konvergenz bzw. Divergenz zu untersuchen..

Das hatte ich schon verstanden.

Zitat:
Original von TraumtänzerinIch wieß da ehrlich gesgat nicht, ob auch das monotonieverhalten gefragt ist.

Das Leibniz-Kriterium fordert die Monotonie. Ganz ehrlich: Wenn du nichtmal die Aussage dieses Kriteriums (die nun wirklich nicht gerade kompliziert ist) im Kopf hast, wie willst du dann diese Aufgabe bearbeiten? Das sind einfache Definitionen, die man auch nachschlagen kann. Wenn es dann noch konkretere Fragen dazu gibt, stell sie gerne. Aber bitte schlag die Dinge nach, die du benötigst.

Zitat:
Original von Traumtänzerin
Wenn ich dann aber das einfach rausstreiche, zeig ich dann nicht die Konvergenz der Folge , die du grade als so offenstichtlich konvergent beschrieben hast?

Also brauch ich Leibniz dafür überhaupt nicht?


Leibniz kannst du benutzen, um die Konvergenz zu zeigen. Aber nicht, um absolute Konvergenz zu beweisen. Das ist wieder eine andere Problemstellung, für die du auch ein anderes Konvergenzkriterium benutzen musst.
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung auf (absolute) Konvergenz o. Divergenz
Zitat:
Original von Mulder
Oder müsst ihr wirklich noch zeigen, dass die Folge auch wirklich monoton fällt?


Sorry, vielleicht verstehen wir uns gerade falsch..
Ich hab mich mit meiner bemerkung zum Monotonieverhalten auf diesen Satz bezogen, weil du gefragt hattest ob es zu zeigen ist, ob sie monoton fällt. Ich wollte damit lediglich ausdrücken, dass ich nicht weiß, ob ich neben der Konvergenzt (etc.) auch zeigen soll ob sie nun monoton fällt..


Zitat:
Original von Traumtänzerin
Ich würde das jetzt mit dem Leibniz-Kriterium machen wollen. Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, wie das jetzt gehen soll, weil ich vielelciht auch das Prinzip nicht ganz durchschaut habe.


Da steht doch, dass ich das Leibniz-Kriterium nicht ganz verstehe ??
Ich meinte, einfach nur, ob ich dieses nicht anwenden könnte um zu zeigen, dass meine Reihe konvergent ist?
Es ist doch durch (-1)^n eine alternierende Reihe, oder bin ich jetzt bescheuert?



Zitat:
Original von Mulder
Leibniz kannst du benutzen, um die Konvergenz zu zeigen. Aber nicht, um absolute Konvergenz zu beweisen.

ich weiß, dass hatte ich ja eingangs selber so schon "gefragt" ..

Zitat:
Original von Traumtänzerin
Und wenn ich die Konvergenz mit diesem Kriterium bewiesen habe, ist damit auch die absolute Konvergenz bewiesen, ich denke nicht, oder ?



Sorry, wenn ich mich jetzt komisch ausgedrückt habe, die fachspache habe ich noch nicht so wirklich gut drauf..
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung auf (absolute) Konvergenz o. Divergenz
Zitat:
Original von Traumtänzerin
Da steht doch, dass ich das Leibniz-Kriterium nicht ganz verstehe ??

Was genau ist daran denn unklar? Dann müsstest du näher erklären, welcher Teil der Aussage Schwierigkeiten macht. In deinem ersten Beitrag hattest du doch vorgeschlagen, zu zeigen, dass



eine Nullfolge ist. Das ist auch in Ordnung. Aber nur Nullfolge reicht nicht aus, muss sogar eine monoton fallende Nullfolge sein. Das ist einfach Grundvoraussetzung, um das Leibniz-Kriterium anwenden zu können.

Zitat:
Original von Traumtänzerin
Und wenn ich die Konvergenz mit diesem Kriterium bewiesen habe, ist damit auch die absolute Konvergenz bewiesen, ich denke nicht, oder ?

Ich hatte diese Frage bereits beantwortet: Nein, wenn du Konvergenz mit dem Leibniz-Kriterium nachgewiesen hast, sagt das noch rein gar nichts über die absolute Konvergenz aus.

Weißt du überhaupt, was der Unterschied zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz ist?
 
 
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung auf (absolute) Konvergenz o. Divergenz
Der Unterschied ist, das absolut konvergente Reihen auch im Betrag noch konvergent sind. (wahrscheinlich ist das wieder mathematisch falsch ausgedrückt)
Also so:



Und was ich an dem Leibniz-Kriterium nicht verstehe, ist im groben erstmal nur, ob es bei einer alternierenden Reihe dann wirklich ausreicht, zu zeigen, dass der Teil ohne (-1)^n eine monoton fallende Nullfolge ist. (Wieder komisch formuliert, bin ich mir sicher. Entschuldige) Wenn du dass jetzt schon beantwortet hattest (ich glaube das hast du gerade in der letzten Antwort sogar), tut´s mir leid, ich steh grade vielleicht etwas (sehr) auf dem Schlauch..
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung auf (absolute) Konvergenz o. Divergenz
Zitat:
Original von Traumtänzerin
Der Unterschied ist, das absolut konvergente Reihen auch im Betrag noch konvergent sind. (wahrscheinlich ist das wieder mathematisch falsch ausgedrückt)

Nein, die Ausdrucksweise ist schon in Ordnung. Dann ist doch alles klar.

Zitat:
Original von Traumtänzerin
Und was ich an dem Leibniz-Kriterium nicht verstehe, ist im groben erstmal nur, ob es bei einer alternierenden Reihe dann wirklich ausreicht, zu zeigen, dass der Teil ohne (-1)^n eine monoton fallende Nullfolge ist.

Ja, das reicht aus. Genau das muss man machen.
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung auf (absolute) Konvergenz o. Divergenz
Okay super danke. smile

Dann war ja meine Denkweise sogar gar nicht soo falsch..

Daaanke. Big Laugh
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