Lagrange Interpolation und Kronecker Delta

26.11.2011, 17:20

Andreas_89

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Lagrange Interpolation und Kronecker Delta

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich hänge gerade an der Theorie der Lagrange Interpolation. Die Berechnung ist kein Problem nur komm ich einfach nicht dahiner was genau dieses Kronecker Delta aussagt:

$\begin{eqnarray*} delta_{ik}= \begin{pmatrix} 1 falls i=k \\ 0 falls i\neq k \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir hier weiterhelfen?

Danke,
Andreas

Meine Ideen:
Im Prinzip soll ja das Lagrangepolynom immer eins ergeben, damit das ganze affin invariant ist, nur kommt in der Berechnung ja immer nur i ungleich k vor...

26.11.2011, 17:21

tigerbine

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RE: Lagrange Interpolation und Kronecker Delta
Nimm doch konkrete Zahlen. Was wäre $\begin{eqnarray*} \delta_{11}=? \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta_{01}=? \end{eqnarray*}$

26.11.2011, 17:54

Andreas_89

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das müsste demnach

$\begin{eqnarray*} \delta _{11} = 1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \delta _{10} = 0 \end{eqnarray*}$

sein aber wie hängt das mit

$\begin{eqnarray*} l_{i}(x) = \prod\limits_{j=0,j\neq i}^n \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}} \end{eqnarray*}$

zusammen

26.11.2011, 18:01

tigerbine

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Du hattest gefragt:

Zitat:

Die Berechnung ist kein Problem nur komm ich einfach nicht dahiner was genau dieses Kronecker Delta aussagt:

Warum leitest du eine weitere Frage dann mit "aber" ein. Wogegen erhebst du Einspruch. unglücklich

unglücklich

[WS] Polynominterpolation - Theorie

Was ist

$\begin{eqnarray*} l_{i}(x_k) = \prod\limits_{j=0,j\neq i}^n \frac{x_k - x_{j}}{x_{i} - x_{j}} \end{eqnarray*}$

ist die entscheidende Frage.

26.11.2011, 18:22

Andreas_89

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Für i = k --> 1 und für i != k --> 0

Bedeutet das, dass das Kronecker Delta definiert wann eine Langrageinterpolation existiert?

Also die Existenz eines Lagrangepolynoms ist gegeben falls i = k

26.11.2011, 18:31

tigerbine

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Beides sind Definitionen. Du sollst einfach nur zeigen, dass gilt

$\begin{eqnarray*} l_{i}(x_k) = \prod\limits_{j=0,j\neq i}^n \frac{x_k - x_{j}}{x_{i} - x_{j}} =\delta_{ik} \end{eqnarray*}$

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26.11.2011, 18:45

Andreas_89

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$\begin{eqnarray*} l _{1}(x_{1}) = \frac{x _{1} - x _{0}}{x _{1} - x _{0}} * \frac{x _{1} - x _{2}}{x _{1} - x _{2}} * ... * \frac{x _{1} - x _{n}}{x _{1} - x _{n}} = 1 * 1 * ... * 1 = 1 = \delta _{11} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l _{1}(x_{0}) = \frac{x _{0} - x _{0}}{x _{1} - x _{0}} * \frac{x _{0} - x _{2}}{x _{1} - x _{2}} * ... * \frac{x _{0} - x _{n}}{x _{1} - x _{n}} = 0 * \frac{x _{0} - x _{2}}{x _{1} - x _{2}} * ... * \frac{x _{0} - x _{n}}{x _{1} - x _{n}} = 0 = \delta _{10} \end{eqnarray*}$

26.11.2011, 18:47

tigerbine

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noch Fragen?

26.11.2011, 19:12

Andreas_89

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Hmm, ja

smile

Wenn mich nun wer nach der Existenz der Lagrange Interpolation fragt sag ich, dass die Existenz gegeben ist wenn i = k bzw schreibe die Def. auf:

$\begin{eqnarray*} l _{i}(x_{k}) = \lbrace 1 \quad falls \quad i = k \qquad 0 \quad falls\quad i \neq k \end{eqnarray*}$

und rechne ihm das bei Rückfrage wie im letzten Post beschrieben vor. Und das Kronecker Delta ist eine separate Definition die eben auch genau das aussagt, richtig?

26.11.2011, 19:17

tigerbine

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Was muss denn für die Existenz gezeigt werden? Warum ist dies im Grunde nun gezeigt... Siehe auch Workshop.

26.11.2011, 19:35

Andreas_89

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Es muss gezeigt werden, dass das Lagrange Polynom != 0 ist, da ansonsten

$\begin{eqnarray*} p(x) = \sum\limits_{j=0}^n l_{i}(x)*y_{i} = 0 \end{eqnarray*}$

und somit nicht existiert .

26.11.2011, 20:17

tigerbine

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Unsinn. Es muss gezeigt werden, dass das Lagrangepolynom die Interpolationsaufgabe löst.

27.11.2011, 12:21

Andreas_89

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Eventuell hats grad Klick gemacht und ich hab verstanden warum die 1 und die 0 so wichtig sind.

Angenommen wir haben die Knoten (0|2), (1|3), und (2|6).

Weiter wird die Interpolationsaufgabe durch

$\begin{eqnarray*} p(x)=\sum\limits_{j=0}^n l_{i}(x)*y_{1} \end{eqnarray*}$

eindeutig gelöst.

Und dafür gilt

$\begin{eqnarray*} l_{i}(x_{k}) = \lbrace1 falls i=k 0falls i\neq k \end{eqnarray*}$

Dann steht da ja nach dem Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} p(0)=1*2+0*3+0*6=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(1)=0*2+1*3+0*6=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(2)=0*2+0*3+1*6=6 \end{eqnarray*}$

Und somit ist gezeigt, dass das Lagrangepolynom die Interpolationsaufgabe löst.

27.11.2011, 12:27

tigerbine

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Wie ich weit oben im Thread schon erwähnte:
[WS] Polynominterpolation - Theorie

Zitat:

Der Nachweis der Erfüllung der LIPA erfolgt durch Rechnung.

Zitat:

In diesem Workshop wollen wir uns mit der Lösung der Lagrange'schen Interpolationsaufgabe beschäftigen. Dazu müssen wir sie zunächst formulieren:

LIPA

Bestimme zu (n+1) paarweise verschiedenen Knoten $\begin{eqnarray*} x_0,...,x_n \end{eqnarray*}$ und zugehörigen Knotenwerten $\begin{eqnarray*} y_0,...,y_n \end{eqnarray*}$ ein Polynom $\begin{eqnarray*} p\in \Pi_n \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} p(x_j)=y_j~\forall j=0,...,n \end{eqnarray*}$

Und dieses Nachrechnen ist sehr einfach, wie du nun selbst gesehen hast. smile

smile

27.11.2011, 12:33

Andreas_89

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Dann vielen Dank für die Mühen.

Tolles Forum.

27.11.2011, 12:33

tigerbine

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Gerne. Schönen Sonntag. Wink

Wink

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