Ableiten mit Umkehrregel

26.11.2011, 17:25

XHotSniperX

Ableiten mit Umkehrregel

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ fest vorgegeben. Bestimmen Sie mithilfe der Umkehrregel die Ableitungen der folgenden Funktionen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= log_a(x) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} f(x)= log_a(x) = y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow\Rightarrow x=a^{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(y)=a^{y},\\ g'(y)=y\cdot a^{y-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{g'(f(x))}=\frac{1}{g'(y)}= \frac{1}{y\cdot a^{y-1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{log_a(x)\cdot a^{log_a(x)-1}}=\frac{1}{log_a(x)\cdot a^{-1}\cdot x}=\frac{a}{log_a(x)\cdot x} \end{eqnarray*}$

Leider gibt WolframAlpha irgendwie was anderes nämlich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x\cdot log(a)} \end{eqnarray*}$

Wie kann das sein? =D

Danke euch!

26.11.2011, 18:05

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableiten mit Umkehrregel

Zitat:

Original von XHotSniperX

$\begin{eqnarray*} f(x)= log_a(x) = y \end{eqnarray*}$ .. Freude

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow\Rightarrow x=a^{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(y)=a^{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(y)=y\cdot a^{y-1} \end{eqnarray*}$ .. unglücklich

kannst du y= a^x richtig nach x ableiten ? also y' = dy/dx = ?
(beachte: es ist y=a^x keine Potenzfunktion - sondern eine Exponentialfunktion
und: du tummelst dich hier im Bereich "Hochschulmathematik" - ?! )

und wie sieht es denn dann wohl aus, wenn du x=a^y nach y ableiten sollst?

also dx/dy = ??

-

26.11.2011, 19:33

XHotSniperX

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hab ich geschlafen. Danke smile

Neue Frage »

Antworten »

Ableiten mit Umkehrregel

Verwandte Themen