Konvergenz von Reihen

Neue Frage »

LAgirly Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen
Hallo zusammen,

ich beschäftige mich gerade mit der Konvergenz von Reihen. Dabei bin ich allerdings noch sehr unsicher.

Beispielsweise habe ich folgende Reihe gegeben:

Dazu soll ich nun den Wert der Reihe berechnen.

Meine Überlegung war die Reihe umzuschreiben als

und dann auseinanderzuziehen und die einzelnen Teile zu betrachten. Aber irgendwie meine ich mich zu erinnern, dass man das nicht darf?!

Bei der ursprünglichen Reihe kann ich bisher ja nicht mit Leibniz arbeiten... oder?

Ich würde mich über Tipps sehr freuen!

Viele Grüße und lieben Dank schonmal!
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Reihen
Zitat:
Original von LAgirly
Meine Überlegung war die Reihe umzuschreiben als

und dann auseinanderzuziehen und die einzelnen Teile zu betrachten. Aber irgendwie meine ich mich zu erinnern, dass man das nicht darf?!

Natürlich darf man das. Verfolge diesen Ansatz ruhig weiter, er ist genau richtig.
LAgirly Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hätte ich ja:


Dass die Reihe konvergiert sehe ich nun ja eigentlich schon, weil ja eine Nullfolge ist, wonach die erste Reihe konvergiert und die zweite konvergiert ebenfalls, da es sich um eine monoton fallende Nullfolge handelt (leibniz)

Allerdings soll ich ja den Wert der Reihe bestimmen... Wir mache ich das in dem Fall?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LAgirly
Dass die Reihe konvergiert sehe ich nun ja eigentlich schon, weil ja eine Nullfolge ist,

Moment mal, dass die Folge eine Nullfolge ist, bedeutet noch lange nicht, dass auch die Reihe konvergiert. Beispiel:



divergiert, obwohl 1/n eine Nullfolge ist.

Zitat:
Original von LAgirly
Allerdings soll ich ja den Wert der Reihe bestimmen... Wir mache ich das in dem Fall?

Das sind alles geometrische Reihen, was wir hier haben. Deren Wert kann man ausrechnen, dafür gibt es eine einfache Formel, die sicher in deinem Skript stehen wird. Sonst schau auf Wikipedia nach, da steht es auch.
LAgirly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Moment mal, dass die Folge eine Nullfolge ist, bedeutet noch lange nicht, dass auch die Reihe konvergiert. Beispiel:



divergiert, obwohl 1/n eine Nullfolge ist.



Oh du hast Recht, ich hatte da was Falsches im Kopf. Wenn die Reihe konvergent ist, folgt daraus, dass die Folge eine Nullfolge ist, die Umkehrung gilt dadurch aber ja noch lange nicht...

Zitat:
Das sind alles geometrische Reihen, was wir hier haben. Deren Wert kann man ausrechnen, dafür gibt es eine einfache Formel, die sicher in deinem Skript stehen wird. Sonst schau auf Wikipedia nach, da steht es auch.

Ja, die geometrische Reihe ist bekannt. Damit würde ich wie folgt arbeiten:


Und jetzt könnte ich die Formel ja anwenden... Wäre das so richtig?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Es stimmt fast alles. Ganz am Ende hast du aus der -1 einfach eine +1 gemacht - warum?
 
 
LAgirly Auf diesen Beitrag antworten »

Das ich aus der -1 eine +1 gemacht habe ist eher ein Tippfehler Augenzwinkern

Es müsste also heißen


So wäre es nun richtig, oder?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Jup.
LAgirly Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank!!!

An der nächsten Reihe hänge ich jedoch schon wieder und zwar geht es um


Das die Reihe konvergent ist, das könnte ich ja damit zeigen, dass nach oben beschränkt ist.
Allerdings ist wieder der Wert der Reihe gesucht und diesen bekomm ich damit ja nicht...

Ich forme nun schon ewig die Reihe um, habe bisher aber nichts gefunden, was mir weiterhilft.
U.a. habe ich umgeformt zu
Mein Hintergedanke war dabei, dass ich die Reihe so umforme, dass ich wieder die geometrische Reihe verwenden kann... aber irgendwie komme ich nicht weiter...

Was mache ich falsch? Hat jemand einen Tipp für mich?

LG
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Mit einer geometrischen Reihe hat das Ganze doch rein gar nichts zu tun.

Du solltest lieber den Nenner faktorisieren und das Ganze mittels Partialbruchzerlegung auf eine Teleskopsumme zurückführen.

Zitat:
Original von LAgirly
Das die Reihe konvergent ist, das könnte ich ja damit zeigen, dass nach oben beschränkt ist.

Damit meinst du, dass du das Majorantenkriterium anwenden willst, ja? Das wäre okay.
LAgirly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Mit einer geometrischen Reihe hat das Ganze doch rein gar nichts zu tun.


Das erklärt, warum ich auch nicht weiter komme Augenzwinkern

Zitat:
Original von Mulder
Du solltest lieber den Nenner faktorisieren und das Ganze mittels Partialbruchzerlegung auf eine Teleskopsumme zurückführen.
[\quote]

Meinst du zum Beispiel so?


Das hatte ich mir zwischenzeitlich auch schon überlegt, allerdings bin ich dabei zu blöd auseinander zu ziehen...

Zitat:
Original von Mulder
[quote]Original von LAgirly
Das die Reihe konvergent ist, das könnte ich ja damit zeigen, dass nach oben beschränkt ist.

Damit meinst du, dass du das Majorantenkriterium anwenden willst, ja? Das wäre okay.

Genau, das meinte ich smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LAgirly
Das hatte ich mir zwischenzeitlich auch schon überlegt, allerdings bin ich dabei zu blöd auseinander zu ziehen...

Dann zieh entsprechende Literatur heran, um dieses Defizit aufzuarbeiten. Partialbruchzerlegung sollte man an der Uni beherrschen. Vielleicht hilft dir der Workshop des Forums schon weiter.
LAgirly Auf diesen Beitrag antworten »

Oh danke! Das muss ich auf jedenfall noch ein bisschen üben!

Also damit habe ich mir nun folgendes überlegt:



Jetzt muss ich irgendwie die Summen wegbekommen und kann dann schließlich n gegen unendlich laufen lassen und habe dann den Wert der Reihe, oder?

Aber wie bekomm ich jetzt noch die Summen "weg", damit ich so vorgehen kann?!
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht solltest du einfach die ersten Summanden mal hinschreiben, dann siehst du, was sich da alles wegkürzt.

Du kannst mittels passender Indexverschiebung aber auch genau zeigen, was wegfällt.
LAgirly Auf diesen Beitrag antworten »

Oh danke, jetzt hab ichs endlich nach einigem Verrechnen hinbekommen und komme jetzt auf 1 als Wert der Reihe smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

1 ist richtig.
LAgirly Auf diesen Beitrag antworten »

Oh klasse smile
hase23 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo , ich sitze an der selben Aufgabe und erhalte nicht den Wert 1 .

Und zwar hat man ja dann folgendes stehen:


oder?

und kommt als Ergebnis ein etwas größerer Wert als 1 (39/28 kommt bei mir raus).
Was habe ich falsch gemacht?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hase23
Und zwar hat man ja dann folgendes stehen:


Nein, hat man nicht. Wieso hast du den Index einfach so verschoben? Wenn man das macht, muss man auch die Folge, deren Partialsummen aufsummiert werden, entsprechend anpassen.
hase23 Auf diesen Beitrag antworten »

Also irgenwie verstehe ich es nicht.. wenn ich die Summenzeichen weghaben will, dann muss ich k doch einfach einsetzen oder? aber bei mir kommt dann 3/4 raus auf jeden Fall nicht eins.. verwirrt
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

hase23 Auf diesen Beitrag antworten »

= ... = 1/4 +1 -1/4 + (1/3n+1) so dann lassen wir n gegen unendlich laufen und der wert der reihe ist 1 da (1/3n+1) gegen 0 geht richtig?
hase23 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt das? smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass an allen Ecken und Enden Klammern fehlen und stattdessen Klammern auftauchen, die dein vermutlich richtiges Resultat dann doch noch falsch machen. So ein Salat motiviert dann auch nicht unbedingt zum genauen Drüberschauen. Und das hier...

Zitat:
= 1/4 +1 -1/4 + (1/3n+1)

ist dann auch wieder komplett falsch. 1/4 ist jeweils der erste Summand der Reihen, die sich nach der Indexverschiebung ergeben. Aber was ist mit den anderen Summanden? Warum steht der eine jetzt da, und die anderen nicht? Formal ist das einfach vollkommen unsauber aufgeschrieben. So geht das nicht.
o.0 Auf diesen Beitrag antworten »



Ersten Summand der ersten Summe und letzten Summand der zweiten Summe rausziehen.



Und Voila es bleibt nur die 1 stehen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »