Verschoben! quadratische bruchungleichung

26.11.2011, 19:19

xxmaxx

quadratische bruchungleichung

hallo

ich versuche gerade eine bruchungleichung zu lösen und komm da irgendwie nicht weiter.
Also gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{x+3} \ge \frac{2-x}{3-x} \end{eqnarray*}$

also wie ich bei einer ungleichung vorgehen muss wenn ich nur auf einer seite einen bruch habe weiss ich.
wie aber muss ich hier vorgehen. man erweitert ja den bruch mit dem nenner und macht eine fallunterscheidung. nur mit welchem der beiden nenner muss man erweitern? mit allen beiden? also 4 fallunterscheidungen?

thx schonmal

26.11.2011, 19:44

mYthos

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Jawohl, letzteres ...

mY+

26.11.2011, 19:46

original

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RE: quadratische bruchungleichung

Zitat:

Original von xxmaxx

$\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{x+3} \ge \frac{2-x}{3-x} \end{eqnarray*}$

also wie ich bei einer ungleichung vorgehen muss wenn ich nur auf einer seite einen bruch habe weiss ich.

$\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{x+3} - \frac{2-x}{3-x} \geq 0 \end{eqnarray*}$

also bring doch diese Aufgabe zuerst in die Form, mit der du klarkommst, dh
untersuche die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{9-x^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

ok?

26.11.2011, 20:06

xxmaxx

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was meinst du mit untersuchen? die ungleichung für x lösen? also x = 0?

26.11.2011, 20:17

xxmaxx

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kannst du mir vl das ganze vl schritt für schritt am obrigen beispiel erklären?

26.11.2011, 20:25

original

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wo ist das Problem?

bringe die beiden Brüche auf den Hauptnenner, dann solltest du eben dies erhalten:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{9-x^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

diese Ungleichung wird also die gleichen Lösungen haben, wie die zu Beginn..

und da hast du doch schon notiert, dass du solche Aufgaben lösen kannst?
(untersuchen im Sinn von Lösungsmenge finden...)

Tipp: du kannst die "Untersuchung" auf folgende Intervalle aufteilen:
1) x<-3
2) -3<x<0
3) 0<x<3
4) x >3

ok?

26.11.2011, 20:37

mYthos

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Zitat:

Original von original
...
$\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{x+3} - \frac{2-x}{3-x} \geq 0 \end{eqnarray*}$

also bring doch diese Aufgabe zuerst in die Form, mit der du klarkommst, dh
untersuche die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{9-x^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

ok?

oder auch

Zitat:

Original von original
wo ist das Problem?

bringe die beiden Brüche auf den Hauptnenner, dann solltest du eben dies erhalten:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{9-x^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Das ist a priori so nicht zulässig. Die Fallunterscheidungen sind schon vorher durchzuführen! Es ergeben sich dann 4 Fälle, jeder mit der entsprechenden Definitions- und Teillösungsmenge.

mY+

26.11.2011, 20:52

xxmaxx

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ok wie denn jetzt? :-) mag mir vl jemand das ganze an einem lösungsweg erklären? oder weiss jemand einen link wo das genau erklärt wird. ich kann dazu nix finden und wenn dann sind die erkärungen wieder mal so kryptisch dass sie keiner versteht.

26.11.2011, 20:54

original

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Zitat:

Original von mYthos

Das ist a priori so nicht zulässig. Die Fallunterscheidungen sind schon vorher durchzuführen!

mY+

nein, da alle hier verwendeten Umformungen unabhängig von der Ungleichung diese nicht verändern.
(Beispiel: auf beiden Seiten einen gleichen Term (egal welchen) subtrahieren erhält den Sinn der Ungleichung
dazu braucht es keine Fallunterscheidungen..)
usw..

und dazu: die vier Fälle, die sich ergeben, sind oben nachzulesen...

26.11.2011, 21:12

mYthos

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Du hast aber mit dem Produkt (3 + x)*(3 - x) multipliziert. Und da hierbei auch einzelne Faktoren negativ sein können, ist in diesem Fall das Relationszeichen umzukehren.

mY+

26.11.2011, 21:16

original

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Zitat:

Original von xxmaxx
..sie keiner versteht.

nimm das Beispiel $\begin{eqnarray*} \frac{2x}{9-x^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

ein Bruch ist positiv, wenn Zähler und Nenner das gleiche Vorzeichen haben
(beide pos. oder beid neg.)
ok?

der Nenner 9-x^2 ist negativ wenn
a) x< - 3
oder wenn
b) x> +3

welches Vorzeichen hat nun gleichzeitig der Zähler 2x
im Fall a) ..?
im Fall b) ..?

welche Teil-Lösung der Aufgabe findest du also schon mal?

und dann:
für alle x aus (-3;+3) ist der Nenner negativ
für welche x aus diesem Intervall ist der Zähler auch negativ?

so.. nun kannst du vielleicht die Lösungsmenge deiner Ungleichung schon aufschreiben:...

?

26.11.2011, 21:24

original

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Zitat:

Original von mYthos
Du hast aber mit dem Produkt (3 + x)*(3 - x) multipliziert. Und da hierbei auch einzelne Faktoren negativ sein können,
ist in diesem Fall das Relationszeichen umzukehren.

mY+

wieder : nein !

es wurde NICHT die Ungleichung multipliziert

Umformungen, die ausschliesslich bei einem Term nur auf der einen Seite der Ungleichung durchgeführt werden
kehren doch nicht das Relationszeichen ...

jetzt deutlich?

26.11.2011, 21:39

xxmaxx

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Zitat:

welches Vorzeichen hat nun gleichzeitig der Zähler 2x
im Fall a) ..?
im Fall b) ..?

a: -
b: +

aber irgendwie brauch ich da ein schema nach dem ich vorgehen kann. vorstellen kann ich mir darunter nichts.

26.11.2011, 21:51

mYthos

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@original

Ich verstehe das schon. Wir haben beide Recht. Du, weil tatsächlich noch nicht mit dem Nenner multipliziert wurde und ich, weil natürlich auch bereits mit dem Nenner multipliziert worden sein könnte, weil rechts immer Null steht. Wir kommen mit unseren beiden Wegen natürlich auf das gleiche Resultat.
_______________

Ich lasse dir nun gern den Vortritt.

mY+

26.11.2011, 22:01

original

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Zitat:

Original von mYthos

Ich lasse dir nun gern den Vortritt.

mY+

Nett von dir, aber ich habe vor

jetzt dann eh gleich mal aufzuhören
und verzichte deshalb gerne auf diesen Tritt smile

26.11.2011, 22:08

xxmaxx

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so also ich glaub ich versteh von ungleichungen doch noch nichts. fangen wir vl nochmal mit einem einfacheren beispiel an:

wenn ich habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{6-x} > x \end{eqnarray*}$

dann mache ich eine fallunterscheidung für

$\begin{eqnarray*} 1.) (6-x)>0 = x > 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1.) (6-x)<0 = x < 6 \end{eqnarray*}$

also für 1.)

$\begin{eqnarray*} 9 > x*(6-x) 0 > 6x-x^2 - 9 \end{eqnarray*}$

wenn ich nun die quadratische gleichung nach x löse bekomm ich für x = 3. d.h x darf nicht
den wert 3 annehmen.

somit ist die lösung für 1.)
$\begin{eqnarray*} x > 6 & x \neq 3 \end{eqnarray*}$

und für 2.)
$\begin{eqnarray*} x < 6 & x \neq 3 \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?

26.11.2011, 22:18

mYthos

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Zitat:

Original von xxmaxx
...
$\begin{eqnarray*} 1.) (6-x)>0 = x > 6 \end{eqnarray*}$
...

Weshalb dies? Aus (6 - x) > 0 folgt doch x < 6 (!)
Das = - Zeichen ist dort auch nicht am Platz.
Du kannst die Ungleichung, solange du auf beiden Seiten nur addierst oder subtrahierst, genau so umstellen, wie eine Gleichung.

mY+

26.11.2011, 22:31

xxmaxx

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ach ja stimmt. hab übersehen dass sich das ungleichheitszeichen ja umdreht bei einem vorzeichenwechsel.

26.11.2011, 22:43

xxmaxx

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wie schaut das ganze dann aber bei diesem beispiel aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+18}{3x-2} < x+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1.) 3x-2 > 0 = x > \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1.) 3x-2 < 0 = x < \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

zu 1.)

$\begin{eqnarray*} x+18<(x+3)(3x-2) = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<3x^2 +6 x -24 = \end{eqnarray*}$

Wenn ich die gleichung löse bekomme ich

$\begin{eqnarray*} x_1 = -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 2 \end{eqnarray*}$

Was fange ich aber jetzt genau damit an? und stimmt die fallunterscheidung mit
<> 0 ?

27.11.2011, 01:06

mYthos

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Auf Grund der ermittelten Lösungen lässt sich das quadratische Polynom in zwei Linearfaktoren zerlegen:

(x + 4)(x - 2) > 0

Daraus ergeben sich wieder 2 Fälle: Entweder sind nun beide Faktoren positiv oder beide negativ.
Die sich daraus ergebenden einfacheren Ungleichungen müssen noch hinsichtlich der Definitionsmenge x > (2/3) betrachtet werden.

mY+

27.11.2011, 09:31

xxmaxx

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ok dazu hätt ich noch ein paar fragen:

Zitat:

Auf Grund der ermittelten Lösungen lässt sich das quadratische Polynom in zwei Linearfaktoren zerlegen:

(x + 4)(x - 2) > 0

Wieso in linear faktoren zerlegen? Muss ich das in so einem fall immer machen? reicht es nicht die beiden nullstellen zu bestimmen also den ausdruck = 0 zu setzten? wenn ich mir dann die funktion graphisch darstelle sehe ich ja genau wo die definition gilt. oder anders gefragt: wie muss ich sonst genau vorgehen bei der betrachtung der faktoren? weiss nicht genau wie ich da sonst auf das ergebnis -4 und 2 komme.

Zitat:

Die sich daraus ergebenden einfacheren Ungleichungen müssen noch hinsichtlich der Definitionsmenge x > (2/3) betrachtet werden.

Nur wie genau mach ich das. ich hab jetzt als ergebnis für 1. u 2.

$\begin{eqnarray*} 1.) 3x-2 > 0 = x > \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 < -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 > 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.) 3x-2 < 0 = x < \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4 < x_1 <2 \end{eqnarray*}$

Wie komme ich jetzt zu meiner gesamtlösungsmenge?

28.11.2011, 22:46

mYthos

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Zitat:

Original von xxmaxx
...
Wieso in linear faktoren zerlegen? Muss ich das in so einem fall immer machen? reicht es nicht die beiden nullstellen zu bestimmen also den ausdruck = 0 zu setzten?

Sicher musst du die Nullstellen bestimmen. Denn diese erst geben dir den Anhaltspunkt für die im Weiteren zu treffenden Fallunterscheidungen.
___________

Zu 1.)
Wieder die selbe Frage: Wie lautet dann die Lösungsmenge?
(Kann x < - 4 und gleichzeitig x > 2 sein?)

Zu 2.)
-4 < x < 2 stimmt zwar zunächst, aber du musst ja noch die Restriktion x < 2/3 berücksichtigen! Daher wird die obere Grenze des Intervalls eingeschränkt werden ...

Die Gesamtlösungsmenge ist immer die Vereinigung der beiden Teillösungsmengen.

mY+

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