Poisson Verteilung herleiten

26.11.2011, 19:33

hella99

Poisson Verteilung herleiten

Meine Frage:
Ich muss die Poisson Verteilung mittels der Binomialverteilung herleiten, verstehe allerdings überhaupt nicht, was da gemacht wird.
Hier einmal die Binomialverteilung
$\begin{eqnarray*} Bi (m)= \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} p^m (1-p)^{m-n} \end{eqnarray*}$
dann folgt dieser Schritt:
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \left(\frac{\mu}{n} \right) ^m \left(1-\frac{\mu}{n} \right) ^{n-m} \end{eqnarray*}$
Was macht man an dieser Stelle? Und woher kommt das Mü?
$\begin{eqnarray*} =\frac{n!}{(n-m)!m!} \left(\frac{\mu}{n} \right) ^m \left(1-\frac{\mu}{n} \right) ^{n-m} \end{eqnarray*}$
Weiterhin verstehe ich auch nicht wie man hier hin kommt
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)(n-2)....(n-m+1)}{n^m} \frac{\mu^m}{m!} \left(1-\frac{\mu}{m!} \right) ^{n-m} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle denke ich, dass man das n! des linken Bruchs in seine "Bestandteile auflöst, bzw umschreibt, aber wie kommt man darauf und was bringt es mir?
Wie kommt der mittlere Bruch zustande? es scheint sich ja weiterhin um den mittleren Term aus der Gleichung zuvor zu handeln, aber warum steht da dann m als Fakultät?
$\begin{eqnarray*} \frac{\mu^m}{m!} \left(1\frac{\mu}{n} \right) ^{n} \left(1\frac{\mu}{n} \right)^{-m} \left(1-\frac{1}{n} \right) \left(1-\frac{2}{n} \right)....\left(1-\frac{m-1}{n} \right) \end{eqnarray*}$
Bei diesem Schritt verstehe ich wieder überhaupt nicht, was gemacht wurde.

Meine Ideen:
Mir würde es sehr helfen, wenn man mir mal erläutern würde, was bei den einzelnen Schritten gemacht wurde, da die Analysis leider schon etwas zurückliegt bei mir und ich überhaupt nicht im Thema bin und so auch nicht weiß, was ich mir zusammensuchen muss, um die Poisson Verteilung selbst herleiten zu können.

26.11.2011, 21:53

Math1986

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RE: Poisson Verteilung herleiten

Zitat:

Original von hella99
dann folgt dieser Schritt:
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \left(\frac{\mu}{n} \right) ^m \left(1-\frac{\mu}{n} \right) ^{n-m} \end{eqnarray*}$
Was macht man an dieser Stelle? Und woher kommt das Mü?

Man definiert hier einfach $\begin{eqnarray*} \mu:=p\cdot n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} p=\frac \mu n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von hella99
$\begin{eqnarray*} =\frac{n!}{(n-m)!m!} \left(\frac{\mu}{n} \right) ^m \left(1-\frac{\mu}{n} \right) ^{n-m} \end{eqnarray*}$

Das ist einfach nur die Definition des Binomialkoeffizienten

Zitat:

Original von hella99
Weiterhin verstehe ich auch nicht wie man hier hin kommt
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)(n-2)....(n-m+1)}{n^m} \frac{\mu^m}{m!} \left(1-\frac{\mu}{m!} \right) ^{n-m} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle denke ich, dass man das n! des linken Bruchs in seine "Bestandteile auflöst, bzw umschreibt, aber wie kommt man darauf und was bringt es mir?

Er hat Folgendes ausgenutzt:
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\mu}{n} \right) ^m = \frac{\mu^m}{n^m} \end{eqnarray*}$
Im Zähler hat er dann die n! ausgeschrieben und die (n-m)! herausgekürzt.

Das m! in der rechten Klammer sieht nach einem Fehler aus.

26.11.2011, 23:36

hella.99

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Tatsächlich, hab mich vertippt, in die letzte klammer gehört ein n unter den Bruchstrich.

Danke! smile

04.12.2011, 14:33

hela99

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Ich hab noch eine Frage

$\begin{eqnarray*} \frac{(n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-k+1))}{n^k} \end{eqnarray*}$

wie löst man diesen Term auf, dass dann diese dabei herauskommen:

$\begin{eqnarray*} (1- \frac{1}{n} )(1- \frac{2}{n} )(1- \frac{k-1}{n} ) \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Es handelt sich um k Faktoren im Nenner, gibt also soviele n wie es k gibt. Der Zähler wird dann dem passenden k zugeordnet.

Aber woher kommt die 1 im Term?

04.12.2011, 14:38

hel99

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Also die 1 vor dem Bruch meine ich verwirrt

04.12.2011, 14:44

Math1986

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Zitat:

Original von hela99
Ich hab noch eine Frage

$\begin{eqnarray*} \frac{(n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-k+1))}{n^k} \end{eqnarray*}$

wie löst man diesen Term auf, dass dann diese dabei herauskommen:

$\begin{eqnarray*} (1- \frac{1}{n} )(1- \frac{2}{n} )(1- \frac{k-1}{n} ) \end{eqnarray*}$

Es ist doch:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-k+1))}{n^k} =\frac nn\cdot\frac{n-1}n\cdot\frac{n-2}n\cdots\cdot\frac{n-k+1}n=1\cdot\left(1-\frac 1n\right)\cdot\left(1-\frac 2n\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}n\right) \end{eqnarray*}$

05.12.2011, 19:20

heIIa99

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Danke! Ich Trottel...

Eine Frage habe ich dann doch noch

wenn er nutzt $\begin{eqnarray*} \left(\frac{\mu}{n}\right)^m = \left(\frac{\mu^m}{n^m}\right) \end{eqnarray*}$

wieso steht dann im nächsten Schritt $\begin{eqnarray*} \frac{\mu^m}{m!} \end{eqnarray*}$ ? Wo kommt das k! her?

Kommt das vom ersten Bruch?

05.12.2011, 19:23

Hella99

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Sorry ich meine natürlich m!

Woher kommt das n^m aus dem ersten Bruch? Umgekehrt würde das aus meiner Sicht mehr Sinn machen. Also die beiden Nenner vertauscht.

05.12.2011, 19:48

Math1986

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Zitat:

Original von Hella99

Woher kommt das n^m aus dem ersten Bruch? Umgekehrt würde das aus meiner Sicht mehr Sinn machen. Also die beiden Nenner vertauscht.

Reden wir über diesen Schritt?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} =\frac{n!}{(n-m)!m!} \left(\frac{\mu}{n} \right) ^m \left(1-\frac{\mu}{n} \right) ^{n-m} \end{eqnarray*}$
Weiterhin verstehe ich auch nicht wie man hier hin kommt
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)(n-2)....(n-m+1)}{n^m} \frac{\mu^m}{m!} \left(1-\frac{\mu}{m!} \right) ^{n-m} \end{eqnarray*}$

Er hat die Nenner ja auch vertauscht, das darf er doch auch.
Es kann ja auch nicht sein, dass er jede triviale Umformung in einem eigenen Schritt begründen muss unglücklich

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