Symmetrische Matrix zu zeigen det. > 0

26.11.2011, 20:09

Susi2302

Auf diesen Beitrag antworten »

Symmetrische Matrix zu zeigen det. > 0

Meine Frage:
Gegeben ist die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & c \\ c & b \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ besitzt die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda1 , \lambda2 \in \mathbb R \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie:
[i] det M>0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 0 $\begin{eqnarray*} \lambda1 , \lambda2 \end{eqnarray*}$ besitzen dasselbe vorzeichen
[ii] gilt det M >0 und a<0, folgt: $\begin{eqnarray*} \lambda1 , \lambda2 \end{eqnarray*}$ sind negativ

Meine Ideen:
Meine Idee ist es über $\begin{eqnarray*} detM =\Pi_{i} \lambda i , sp(M)=\sum\limits_{i} \lambda i \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} p(\lambda)=\lambda^2 -\lambda(a+b)+ab-cc \end{eqnarray*}$
Wobei $\begin{eqnarray*} (ab-cc)= detM ; -\lambda(a+b) = Sp(M) \end{eqnarray*}$ ist

Habe nun schon mit einsetzten versucht, aber komme auf keine vernünftigen Wert unglücklich

unglücklich

Bitte um Hilfe, Danke

26.11.2011, 20:26

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Verwende das:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} detM =\Pi_{i} \lambda i \end{eqnarray*}$

in der a).
Wie lautet die Beziehung in diesem Fall konkret? (Das beweist schon die a)
Bei der b) ist die Spur nützlich um $\begin{eqnarray*} \lambda _1 + \lambda_2 <0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen. (was ja für b) genügt)

Das hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -\lambda(a+b) = Sp(M) \end{eqnarray*}$

ist übrigens falsch. Die Variable lambda hat in der Spur nichts zu suchen.

26.11.2011, 21:09

Susi2302

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja so weit habe ich auch mitgedacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schön zu merken, das die Gedanken die man sich mach doch nicht umsonst sind Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mir fällt es schwer, die Logik in eine Mathemathischeschreibweise zu fassen.
Ich weiß,dass $\begin{eqnarray*} "-"*"-"="+" \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} "+"*"+"="+" \end{eqnarray*}$ ist .Baer wie schreibe ich das Formal, ich hoffe du verstehst mich ...

und zu b) $\begin{eqnarray*} Sp(M)= \lambda1+\lambda2 \end{eqnarray*}$ oder nicht?? (laut Papula)

26.11.2011, 21:18

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Du siehst, sieht man nichts. Benutze im Zweifelsfall den Formeleditor.

26.11.2011, 21:19

Susi2302

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm das verstehe ich jetzt nicht...sorry

26.11.2011, 21:27

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll mir das hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} "-"*"-"="+" \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} "+"*"+"="+" \end{eqnarray*}$ is

sagen?
Jetzt wo ichs kopiert hab´ seh ich den Quelltext. Du meinst also +*+=+=-*- . Das Dir das bekannt ist davon ging ich aus. Das ist Stoff der 5.(?)-Klasse, wir sind hier im Hochschulbereich.

Meine Frage:

Zitat:

Verwende das: Zitat: $\begin{eqnarray*} detM =\Pi_{i} \lambda i \end{eqnarray*}$ in der a). Wie lautet die Beziehung in diesem Fall konkret?

Ist immer noch offen. Was bereitet Dir dabei Schwierigkeiten?

Anzeige

26.11.2011, 21:34

Susi2302

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte ja nur verdeutlichen, dass ich den sinn schon versteh, aber ds Mathematische Ausdrücken nicht so einfach finde!!

$\begin{eqnarray*} detM = \lambda1 * \lambda2 = (a*b-c*c) \end{eqnarray*}$
wenn $\begin{eqnarray*} \lambda1 *,\lambda2 \end{eqnarray*}$ nicht notwendigerweise verschienden sind, könnte ich auch schreiben $\begin{eqnarray*} detM = \lambda1 \lambda2 =\lambda_{1/2}^2= (a*b-c*c) \end{eqnarray*}$

26.11.2011, 21:44

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

das entscheidende ist das hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} detM = \lambda1 * \lambda2 \end{eqnarray*}$

was folgt daraus mit det(M)<0 und +*+=+=-*- (bzw. -*+=-) ?
das $\begin{eqnarray*} \lambda 1, \lambda2 \end{eqnarray*}$ nicht notwendig verschieden sind heißt nicht dass sie notwendig gleich sind, nur dass sie es sein könnten.

OT: Mir scheint wir reden in Bezug auf das hier $\begin{eqnarray*} "-"*"-"="+" \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} "+"*"+"="+" \end{eqnarray*}$ aneinander vorbei. Mir wird das so dargestellt:
%22-%22*%22-%22=%22+%22 . Sieht das bei Dir anders aus?

26.11.2011, 21:51

Susi2302

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja bei wird es Augenzwinkern

Augenzwinkern

bei mir steht da kein Kaudawelsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

ja ich weiß was es heißt,kann es aber leider nicht so ausdrücken
$\begin{eqnarray*} detM=\lambda_1*\lambda_2=-\lambda_1*-\lambda_2>0 \end{eqnarray*}$ ??

26.11.2011, 21:53

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Formulieren wirs etwas um: das Produkt zweier Zahlen ist negativ. Können beide Zahlen gleichzeitig negativ oder gleichzeitig positiv sein?

26.11.2011, 21:57

Susi2302

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das geht nicht, dasa ist nur der Fall,wenn $\begin{eqnarray*} detM=-\lambda_1*\lambda_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} detM=\lambda_1*-\lambda_2 \end{eqnarray*}$

26.11.2011, 22:04

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kannst Du so nicht formulieren, da $\begin{eqnarray*} det(M)=\lambda _1 +\lambda _2 \end{eqnarray*}$ .
Du kannst doch nicht einfach so das Vorzeichen auf der einen Seite verändern ohne es auf der Anderen zu tun.
Die mathematische Formulierung dafür ist: Wäre $\begin{eqnarray*} \lambda 1 <0, \lambda 2 <0 \end{eqnarray*}$ so wäre $\begin{eqnarray*} det(M)=\lambda 1 \lambda 2 >0 \end{eqnarray*}$ (ebenso für > statt <). Also muss $\begin{eqnarray*} \lambda1 <0, \lambda2>0 \end{eqnarray*}$ (oder umgekehrt) gelten.

26.11.2011, 22:09

Susi2302

Auf diesen Beitrag antworten »

aber $\begin{eqnarray*} detM= \lambda_1*\lambda_2 \end{eqnarray*}$ oder nicht?? Und ich wollte mit meiner Aussage ja auch nicht den Term oder so ändern, sondern nur sagen, wenn eine Zahl vom beiden negativ ist ist auch das Produkt negativ.
Dann hatte ich dich falsch verstanden, das du nach einem Produkt gefragt hattest und nicht nach einer Summe.
Hmm, das es so leicht zu definieren ist, würde ich nicht drauf kommen, sondern eher wesentlich komplizierter....

26.11.2011, 22:12

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Kommando zurück, dass ist ein Tippfehler meinerseits.
Natürlich ist $\begin{eqnarray*} det(M)=\lambda _1 \cdot \lambda _2 \end{eqnarray*}$ .

Mit -x sagst du im Übrigen nicht, dass x negativ ist. (-(-2)=2 ist positiv)

26.11.2011, 22:27

Susi2302

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das stimmt, so wollte ich es ja auch nicht ausdrücken Augenzwinkern

Augenzwinkern

... weiß nicht wie ich es sonst schreiben soll, außer das ich sagen kannte wenn ich eine positive mit einer negativen Zahl multipliziere ein negatives Ergebnis bekomme...das wollte ich aussagen...

kann es sein das es bei dem letzten Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lambda1>0 \end{eqnarray*}$ heißen müsste??

b) $\begin{eqnarray*} detM={(-a*b-c*c)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda_1<0 ,\lambda_2<0 \end{eqnarray*}$

26.11.2011, 22:32

Susi2302

Auf diesen Beitrag antworten »

Hupps ich glaube ich sollte die Spur miteinbauen und nicht nur die Determinante, wenn ich es aufgrund der Spur begründe Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} Sp(M)=a+b \end{eqnarray*}$

26.11.2011, 22:35

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komm grad nicht mit wo du bist. haben wir jetzt die a) zufriedenstellend bearbeitet?
Oder sind da von Deiner Seite noch Fragen offen?

26.11.2011, 22:40

Susi2302

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich mit meiner Annahme richtig liege, das deine zweite Bedingung bezüglich $\begin{eqnarray*} \lambda_1<0 \Rightarrow \lambda_1>0 \end{eqnarray*}$ heißen müsste, dann ist mir das mehr als klar, was du da hingezaubert hast.
$\begin{eqnarray*} detM = \lambda_1*\lambda_2 >0 \end{eqnarray*}$ wenn für $\begin{eqnarray*} \lambda_1<0,\lambda_2<0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda_1>0,\lambda_2>0 \end{eqnarray*}$ gilt

26.11.2011, 22:44

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

:Wäre $\begin{eqnarray*} \lambda 1 <0, \lambda 2 <0 \end{eqnarray*}$ so wäre $\begin{eqnarray*} det(M)=\lambda 1 \lambda 2 >0 \end{eqnarray*}$ (ebenso für > statt <). Also muss $\begin{eqnarray*} \lambda1 <0, \lambda2>0 \end{eqnarray*}$ (oder umgekehrt) gelten.

Ist vollkommen richtig. Da hier det(M)<0 ist kann nach

Zitat:

$\begin{eqnarray*} detM = \lambda_1*\lambda_2 >0 \end{eqnarray*}$ wenn für $\begin{eqnarray*} \lambda_1<0,\lambda_2<0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda_1>0,\lambda_2>0 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \lambda_1<0,\lambda_2<0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda_1>0,\lambda_2>0 \end{eqnarray*}$ nicht sein.
Also muss $\begin{eqnarray*} \lambda_1<0,\lambda_2>0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda_1>0,\lambda_2<0 \end{eqnarray*}$ gelten.

26.11.2011, 22:49

Susi2302

Auf diesen Beitrag antworten »

Moment,

ich will, dass meine Determinante größer als null ist.

Das erreiche ich, indem meine beiden Lambda's die gleichen Vorzeichen haben, entweder beide positiv oder beide negativ-

Das habe ich doch aber nur erfüllt, wenn BEIDE Lambda's KLEINER NULL sind oder BEIDE Lambda's GRÖ?ER NULL sind.

Aber so hast du es doch nicht stehen.

Wo ist der Wurm??

26.11.2011, 23:02

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast völlig recht ich hab mich verlesen. So spät am Abend geht bei mir die Multitasking Fähigkeit offenbar zurück. Damit ist die a) jetzt aber im kasten.Bei der b) haben wir jetzt:
$\begin{eqnarray*} detM={(-a*b-c^2)} \end{eqnarray*}$ und a<0. was gilt damit für b(das aus der Matrix)?

27.11.2011, 06:55

Susi2302

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, war mir dann gestern abend auch zu spät Augenzwinkern

Augenzwinkern

[ii] gilt b>0 da das Produkt $\begin{eqnarray*} a*b<0 \end{eqnarray*}$ ist und a<0 ist

27.11.2011, 18:32

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist korrekt, wobei Du hier noch kurz begründen müsstest warum $\begin{eqnarray*} a \cdot b <0 \end{eqnarray*}$ gilt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »