Beschränktheit / Monotonie ( drüberschauen )

26.11.2011, 23:23

Pfirsichtee

Beschränktheit / Monotonie ( drüberschauen )

Nabend , ich arbeie gerade an folgender Aufgabenstellung:

Gegeben ist die rekursiv definierte Folge $\begin{eqnarray*} a_n , n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} a_1 = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{n+1} := \frac{6(1+a_n)}{7+a_n} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie: Die Folge ist beschränkt und monoton wachsend.

Hinweis: Versuchen Sie zunächst die Monotonie z.B. durch vollständige Induktion zu beweisen. Dabei erhalten Sie auf natürlich Weise einen Hinweis zur Beschränktheit der Folge.

Meine bisherigen Lösungen :

Also die Monotonie zu beweisen war ja relativ leicht. Nun geht es also um die Beschränktheit.

Leider habe ich nicht auf natürliche Weise einen Hinweis zur Beschränktheit entdeckt. smile

.Nach unten ist sie selbstverständlich durch 1 beschränkt.
Nun habe ich einfach mal ein paar Folgenglieder berechnet und vermute, dass die Folge nach oben hin durch 2 beschränkt wird. Dies wollte ich auch durch Induktion zeigen. Allerdings komme ich an keiner Stelle dazu, dass ich die Induktionsvorraussetzung benutzen kann, dennoch am Ende zu einem Ergebnis kleiner 2 komme. Ich hab mir mal die Mühe gemacht meinen Induktionsschritt schön ordentlich aufzuschreiben, sodass ihr nur leicht drüber schauen müsst. ^^

Behauptung : Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ wird durch 2 nach oben hin beschränkt.

Beweis per Induktion:

$\begin{eqnarray*} IA : n = 1 \Rightarrow 1,5 < 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IS : n \Rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

Im Induktionsschritt ist zu zeigen :

$\begin{eqnarray*} \frac{6(1+a_{n+1})}{7+a_{n+1}} < 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{6+6\cdot a_{n+1}}{7+a_{n+1}} = \frac{6+ 6 \cdot ( \frac{6+ 6 \cdot a_n}{7+a_n} ) }{7 + ( \frac{6 + 6 \cdot a_n}{7 + a_n} ) } = \frac{ 6 + ( \frac{6 \cdot ( 6 + 6 \cdot a_n ) }{7 + a_n}) }{7 + ( \frac{6 + 6 \cdot a_n}{7 + a_n} ) } = \frac{ \frac{6 \cdot ( 7 + a_n ) + 6 \cdot ( 6 + 6 \cdot a_n)}{7 + a_n} }{ \frac{7 \cdot ( 7 + a_n ) + ( 6 + 6 \cdot a_n ) }{7 + a_n} } = \frac{6 \cdot ( 7 + a_n ) + 6 \cdot ( 6 + 6 \cdot a_n )}{7 \cdot ( 7 + a_n ) + ( 6 + 6 \cdot a_n )} = \frac{42 + 6 \cdot a_n + 36 + 36 \cdot a_n}{49 + 7 \cdot a_n + 6 + 6 \cdot a_n} = \frac{78 + 42 \cdot a_n}{55 + 13 \cdot a_n} \end{eqnarray*}$

Nun soll also gelten :

$\begin{eqnarray*} \frac{78 + 42 \cdot a_n}{55 + 13 \cdot a_n} < 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 78 + 42 \cdot a_n < 2 \cdot ( 55 + 13 \cdot a_n ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 78 + 42 \cdot a_n < 110 + 26 \cdot a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16 \cdot a_n < 32 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n < 2 \end{eqnarray*}$

Nun ist also $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ kleiner 2 für alle n aus N. MUSS man bei einem Induktionsbeweis IMMER die Induktionsvorraussetzung benutzen? Oder geht es in diesem Fall auch ohne?

MfG : Pfirsichtee Wink

26.11.2011, 23:56

Hellsing91

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Hallo Pfirsichtee, ich schätze mal du kommst von der selben Uni wie ich, da auch ich grade an dieser Aufgabe verzweifle.

Ich habe es so verstanden, dass wir erst die Monotonie durch die Induktion beweisen sollen, also

$\begin{eqnarray*} IV :a_n<a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

MUSS man bei einem Induktionsbeweis IMMER die Induktionsvorraussetzung benutzen?

So wie es uns mal erklärt wurde, ja. Sicher bin ich mir natürlich nicht.

Ich probiere hier grade auch noch ein wenig herum Augenzwinkern

edit: Ach du willst jetz nochmal die Beschränktheit per Induktion beweisen ?
Das ist doch garnicht nötig. In der Aufgabe steht doch auch z.B. Eine Ungleichung, wie du sie hier hast sollte eigentlich ausreichend sein.
Hast du denn die Monotonie durch Induktion bewiesen ?

27.11.2011, 00:12

Pfirsichtee

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Ja ich habe die Monotonie per Induktion bewiesen.

Dieser Induktionsbeweis hier bezieht sich ausschließlich auf die Beschränktheit, soll also ein Beleg für die Richtigkeit meiner Behauptung sein, dass alle Folgenglieder kleiner 2 sind.

27.11.2011, 00:15

Hellsing91

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Ja dann müsstes du eigentlich fertig sein. Ich habe zumindestens damals beim Sup, Inf auch über eine Ungleichung wie du sie hier hast gezeigt, dass die Beschränktheit gilt.
Und es war richtig (dort natürlich noch mit Beweis, dass es auch die kleinste ist...das ist hier ja nicht notwendig).

Eine Induktion ist ja nicht direkt gefordert.

27.11.2011, 00:17

Pfirsichtee

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Nein ist sie nicht, und wenn jemand einen schöneren Löungsweg hat, so würde ich den natürlich sehr gerne sehen. ^^

27.11.2011, 16:58

Yasu

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Hi, ich habe die Monotonie auch mit Induktion gelöst.

Allerdings kam ich dann auf folgendes ergebnis:

an>-1,2 (nach äquvalenzumformungen).

Ich habe also allgemein die Differenz beider Werte genommen.

Da der Wert größer gleich ist, ist es monoton steigend.

Ist das korrekt, oder habt ihr etwas anderes zur Monotonie.

Vielen dank schonmal.

mfg. Yasu

Augenzwinkern

27.11.2011, 17:19

Pfirsichtee

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Meine letzte Zeile lautet :

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} > a_n \end{eqnarray*}$ , was dann nach IV richtig war...

Und zu dem da oben ist mir gestern vorm Schlafengehen eingefallen, dass die letzte Zeile eben wegen der IV gilt und der Beweis somit doch fertig ist.

Gruß Pfirsichtee Wink

27.11.2011, 19:04

Hellsing91

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Jup, allerdings habe ich irgendwie rausbekommen das die Folge bei 6 beschränkt ist.

Jetz bin ich ein wenig verwirrt, was denn stimmen mag Big Laugh

Das wird wohl noch eine lange nacht.

Ich werde wohl meine Lösung nochmal durchgehen müssen.

Wie bist du denn auf die 2 gekommen Pfirsichtee ?

27.11.2011, 19:22

Pfirsichtee

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Einfach bis a_15 oder so ausgerechnet. Big Laugh

Dabei ist der Wert immer weiter an die 2 rangerückt, aber hat sie niemals völlig erreicht. Und im Endeffekt ja mit dem oben stehenden Beweis. Wie kommst du den auf 6? O_O
Naja 6 ist natürlich auch eine Schranke dafür, wenn 2 es schon ist. ^^

27.11.2011, 19:33

Hellsing91

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Tja, dass frag ich mich grade auch Big Laugh

Ne ich habe grade mitbekommen das es nicht stimmt.

Wobei rein thoretisch dürfte man ja jede nehmen, es ist ja nicht nach der kleinsten gefragt smile

27.11.2011, 19:34

Pfirsichtee

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Naja stimmen tut es schon. Sollte 2 wirklich bereits eine obere Schranke sein, dann ist es 6 selbstverständlich auch. ^^

Hast du Aufgabe 1b) eigentlich was? Kannst ja mal in den Thread zu bijektiven Abbildungen sehen im ana-bereich ^^

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