Erwartungswert der benötigten Würfe der Zahlen 1-6

27.11.2011, 00:07	japr0	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert der benötigten Würfe der Zahlen 1-6 Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe zu lösen und bekomme nicht einmal einen sinnvollen Ansatz hin: Aufgabe: Man würfelt so lange, bis jede der Zahlen 1 bis 6 einmal gekommen ist. Wie groß ist de Erwartungswert der Anzahl der benötigten Würfe? Tipp/Anleitung: Sei Xi die Anzahl der Würfe bis zur i-ten verschiedenen Zahl. Definiere (Hilfs-)Zufallsvariable Yi mit $\begin{eqnarray} Y_1 = 1, Y_i = X_i - X_{i-1} \end{eqnarray}$ Gefragt ist also $\begin{eqnarray} E(X_6) \end{eqnarray}$ , wie ist $\begin{eqnarray} Y_i \end{eqnarray}$ verteilt ? Meine Ideen: Das Y_i beschreibt ja dann die Anzahl an Würfen, die ich bei X_i mehr gebraucht habe, als bei $\begin{eqnarray} X_{i-1} \end{eqnarray}$ . Demnach sollte Y für die steigenden "i's" immer weiter wachsen ( so vom Gefühl her ). Der Erwartungswert von E(X_1) sollte eigentlich 1 sein. Aber von hier aus kann ich keinen Ansatz finden. Ich kann weder etwas darüber aussagen, wie Y verteilt ist, noch finde ich einen Weg um E(X_6) mathematisch zu bestimmen... könnt ihr mir bei dem Ansatz helfen ? Danke
27.11.2011, 01:37	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Formal kann ich dir nicht helfen, aber du könntest ja zumindest mal den Erwartungswert für das Würfeln einer bestimmten Augenzahl bestimmen. Danach den für das Würfeln von 2 bestimmten Augenzahlen. Dann den, für das Würfeln von 3 bestimmten Augenzahlen... Die Wkt für einen Treffer ist 1/6 , 2/6, 3/6... Und daraus dann die Aufgabe rückwärts berechnen.
27.11.2011, 10:16	japr0	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal danke für die schnelle Antwort. Das Problem ist, dass unsere Korrektoren vermutlich direkt 0 Punkte geben, wenn nicht der in der Aufgabe beschriebene Weg benutzt wird Leider sehe ich aktuell noch überhaupt keinen sinn in dieser Hilfsvariable Y ... Zudem habe ich irgendwie beim bestimmen des Erwartungswertes ein Brett vor dem Kopf, denn: Die Werte von zB. X_2 liegen zwischen 2 und unendlich. $\begin{eqnarray} E(X_2) = \sum_{k=2}^{\infty} x_i p_i \end{eqnarray}$ Ok, $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ ist entsprechend 2,3,4,etc und das $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray*}$ sollte die geometrische Verteilung sein. Aber ich komme auch nicht darauf, was ich hier konkret einsetzen müsste.
27.11.2011, 10:35	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Mithilfe der Yi kannst du $\begin{eqnarray} E(X_6) \end{eqnarray}$ umschreiben zu $\begin{eqnarray} E(X_6)=E(X_6-X_5+X_5-X_4+X_4-X_3+X_3-X_2+X_2-X_1+X_1)=E(Y_6+Y_5+...+Y_2+X_1) \end{eqnarray}$ Die Erwartungswert für $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ sollte ja klar sein, der für die Yi ist auch nicht schwer, überlege dir was die jeweilige Erfolgswahrscheinlichkeit für Y2, Y3 usw. ist
27.11.2011, 13:57	japr0	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank! Habe es nun hinbekommen und es kommt 14.7 heraus.

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