Beweis für eine konvergente Folge

27.11.2011, 12:53	Raindancer	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für eine konvergente Folge Hallo liebe Freunde, Verbündete und Feinde der Mathematik! Ich wende mich an euch mit der Bitte um Hilfe bei der folgenden Aufgabe: Beweisen Sie: Sei ( $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ ) eine konvergente Folge mit Grenzwert $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n a_{k}=a \end{eqnarray}$ ________________ was ich mir dazu überlegt habe: Es existiert ein $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \|a_n-a\|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ gilt. $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n \|a_k-a\| = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n_0-1} \|a_k-a\| + \frac{1}{n+1} \sum_{k=n_0}^n \|a_k-a\| < \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n_0-1} \|a_k-a\| + \frac{1}{n+1} \sum_{k=n_0}^n \frac{\varepsilon}{2} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n_0-1} \left(\|a_k-a\|-\frac{\varepsilon}{2}\right) + \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ Habe ich etwas durcheinander gebracht? Ist der Einsatz der Dreiecksungleichung hier sinnvoll? Welchen Schritt muss ich noch machen um den Grenzwert = a zu bekommen?

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