Bijektive Funktion aufstellen - Seite 2

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Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja diese Funktion ist ebenfalls bijektiv auf R-->R ^^

Ja gut man darf nicht durch 0 teilen, dass hätte ich mir auch denken können, das dort nicht alle erwischt werden Forum Kloppe
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut. Wir wissen also, dass eine Bijektion ist. Jetzt wollen wir aber eine Bijektion finden.

Ich drehe das Ganze erstmal ein wenig runter. Lasst uns doch erstmal eine Bijektion finden. Und da hier nur ein Punkt anders ist, liegt es doch nahe, mit unseren Überlegungen bei der Identität zu starten.
Klar ist doch: Die Eins einfach woanders als auf die Eins abbilden wird's nicht tun, denn alle anderen Elemente sind schon getroffen und wegen der Injektivität dürfen wir jedes nur einmal treffen. Aber egal, machen wir's doch einfach mal und schicken die Eins auf irgendeine andere Zahl:



So. Jetzt haben wir aber das Problem, dass zweimal getroffen wird. Macht nichts, verschieben wir die halt auch!



Ah, Mist. Jetzt wird aber doppelt getroffen! Was nun? Und ab dieser Stelle lass ich euch wieder denken.

air
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Leute, wartet bitte mal eben. Ich werde den Beitrag ein wenig ändern, es geht nämlich auch einfacher!

Korrigiert! So ist nochmal eine ganze Ecke einfacher.

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »




So vielleicht? ^^


ps : Es graust mir jetzt schpn davor, dass wir nachher mit diesen beiden Funktionen eine neue bijektive Funktion von [-1,1] auf R knstruieren sollen. Big Laugh

Naja muss ja nur irgendwie verknüpft werden eigentlich, is ja dan wieder bijektiv, aber die Bijektivität dann wieder zu zeigen. O_o
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre – also nein. Augenzwinkern Weiter überlegen!

air
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Idee im "PS" stimmt (ist nur unvollständig). Aber keine Sorge, dazu kommen wir noch!

air
 
 
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich es denn nun richtig verstanden, das wir -1 und 1 zwei Werte zuordnen ( also zum beispiel 0 und 2 ) oder irgendwelche frei wählbaren, also a für x = -1 und b für x = 1 - und muss demnach nur die obere zuordnung verbessert werden, oder beides?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Bleib bitte erstmal bei meiner vereinfachten Aufgabe, eine Bijektion zu finden. Die Idee sollte aus meinem langen Beitrag eigentlich hervorgehen, notfalls nochmal lesen – und zwar gründlich. Augenzwinkern

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »



So in die Richtung?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist zwar ein bisschen besser, aber diese Funktion ist für nichtmal definiert.

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »




Also das würde man ja dann die ganze Zeit so runterrattern bis zur " letzten " Zeile mit

n+1 für x = n

Wobei in der oberen Abbildung x = 1 ja ebenfalls nicht definiert wäre. Big Laugh

Komme gerade leider nicht auf eine schönere kürzere Form. verwirrt
Vielleicht hat Hellsing ja noch ne Idee, sollte er noch dabei sein. Big Laugh
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pfirsichtee
Wobei in der oberen Abbildung x = 1 ja ebenfalls nicht definiert wäre. Big Laugh


Wieso nicht? Da steht doch ganz explizit, dass ist.

Das "runterzurattern" ist erstmal richtig. Und das schreibe ich dir jetzt auf:



Blöderweise haben wir das Problem immer noch, denn wegen ist die Funktion nicht injektiv. Der entscheidende Schritt fehlt noch, der Übergang vom Endlichen zum Unendlichen.

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach nur statt n zu schreiben ist nicht schon die Antwort auf das Problem oder? xD
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Da das keine reelle Zahl ist, nein. Augenzwinkern

Aber welche Menge kriegst du denn, wenn du bei {1, 2, ..., n} sozusagen unendlich weit gehst?

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Die natürlichen Zahlen natürlich. Also immer nur brav schreiben?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du solltest das Prinzip der Funktion verstanden haben. Wenn du das hast, müsstest du in der Lage sein, nun endlich eine injektive Variante anzugeben. Es gibt nur zwei Fälle in der Fallunterscheidung, so als Tipp. Augenzwinkern

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Also es läuft hierauf hinaus.






2 Fälle? Da muss ich wohl nochmal überlegen, wo wir jetzt eine Fallunterscheidung ansetzen. verwirrt
Naja beim Nachrechnen der Injektivität wahrscheinlich. Big Laugh


Alles klar Injektivität hat sich damit erledigt. Fallunterscheidung ist dan halt einmal für x aus R ohne N und der zweite Fall für x aus N. In beiden F#llen folgt x = y.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion, die du angeschrieben hast, ist auf {n+1, n+2, ...} nicht definiert!

Die Fallunterscheidung dringt sich doch geradezu auf. Hast du denn verstanden, wie die Funktion aussieht? Wenn nicht, mal dir mal ein Bild! Augenzwinkern

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht jetzt endlich so? ^^



Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Streichen wir noch den überflüssigen Index 'n' und dann ist das perfekt. Freude
Jetzt wende das ganze Prinzip nochmal im negativen an, um die Bijektion zu erhalten.

(Edit: Ich gehe mal davon aus, dass 0 bei euch keine natürliche Zahl ist ... ansonsten muss da eben stehen)

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant notiert, aber richtig, ja. Big Laugh Ich hätte jetzt einfach geschrieben. Augenzwinkern

So. Jetzt haben wir unsere Funktion, bleibt nur noch zu zeigen, dass sie auch wirklich bijektiv ist!

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Naja das dürfte eigentlich kein größeres Problem sein. Alle 3 Fälle werden bei Injektivität wie auch bei Surijektivität zu einem Einzeiler. Also zum Beispiel

Injektivität

Fall 1 :

g(x) = x = y = g(y)

Die beiden anderen Fälle verlaufen ja analog, +1 oder -1 stören da ja nicht weiter. ^^

Surijektivität : Hier lässt sich in allen drei Fällen leicht die Umkehrfunktion aufstellen.

Fall 1

g(x) = x , , f(x) ist in R und das wars.

Die anderen 2 Fälle ja genauso.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Die Beweise sind zwar tatsächlich leicht, aber deine leider alle falsch. Bitte ein bisschen mehr darauf achten, was zu zeigen ist und was man gegeben hat. Ich bin allerdings der Meinung, dass die Bijektivität bereits aus der Konstruktion klar sein sollte – die Idee der Konstruktion solltest du dann aber mit Worten umschreiben!

Die nächste Aufgabe ist dann also, diese beiden Abbildungen zu nutzen, um eine Bijektion zu konstruieren. Eine erste Idee hattest du ja und die ist auch gut. Jetzt das Ganze ein bisschen formaler!

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau ist denn an den Beweisen falsch?

Injektivität:

Fall 1 :

Es gilt also g(x) = g(y) , Frage : folgt daraus x = y

Was ist denn an folgender Gleichunsgkette dann nicht richtig?

x = g(x) = g(y) = y ==> x = y
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Du sprichst von y, hast aber nie gesagt, was y für eine Zahl sein soll. Außerdem ist der logische Aufbau falsch. Du gibst dir ja kein x vor, sondern ein f(x). Jetzt kannst du Fälle unterscheiden, woraus x stammt.

Man könnte auch die Kontraposition heranziehen: . Entweder sind beide Zahlen irrational, dann [...]. Oder eine ist irrational und eine natürlich, dann [...]. Oder beide sind natürlich, dann [...]. Die Fälle für negative natürlichen Zahlen sind dann analog.

Edit: Jetzt hast du noch reingemogelt, was y sein soll. Augenzwinkern

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja hehe. smile
Ok du hast natürlich recht, gut , mal sehen we die verknüpfung ausschaut
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Übersicht (ich ändere mal die Namen der Funktionen): Wir haben jetzt Bijektionen





Und gesucht ist eine Bijektion



air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Da stimmt schon die linke Seite nicht. Die einzig sinnvolle Verkettung wäre , sonst haut es mit den Definitionsbereichen nicht hin. Und die rechte Seite haut auch nicht hin.

Ich würde mir die Mühe aber auch gar nicht machen, die Verknüpfung "auszurechnen". Wozu? Wir suchen . Klar ist, dass wir mit



arbeiten müssen. Beachte, dass ist. Das Fragezeichen gilt es nun noch zu füllen, sollte aber wirklich kein Problem mehr bereiten, denn es gibt nur zwei Werte, die im Zielbereich noch nicht getroffen sind.

Die Bijektivität dieser Funktion würde ich nicht explizit nachrechnen. Zeige lieber allgemein, dass die Verknüpfung bijektiver Funktionen (entspr. Mengen) wieder bijektiv ist – falls ihr das nicht eh schon gezeigt habt. Dass dann diese Funktion, die ja ein wenig mehr als nur eine Verknüpfung ist, auch eine Bijektion ist, folgt daraus ganz leicht (man fügt ja nur sowohl im Urbild- als auch Bildbereich zwei Punkte hinzu).

Ich bin jetzt schlafen. Gute Nacht Wink

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar dann gute Nacht und danke für die Hilfe und deine Zeit. Hast mir sehr weitergeholfen und hat Spaß germacht. Wink


Und ich hätte gesagt, das da halt nur x hinkommt. ^^
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt auch. Augenzwinkern

air
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