Bijektive Funktion aufstellen

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Rosén Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektive Funktion aufstellen
Hi wir haben folgende Aufgabe:

Geben sie eine bijektive Funktion an.

(a)

Da habe ich als Funktion

Ist das korrekt ?

(b) {}

Und bei der b, habe ich noch nichts rausbekommen.
Vielleicht jemand einen Tip ?

Danke schonmal smile
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auch die letzte Aufgabe an der ich noch hänge. smile


Hab bisher leider auch keine bijektiven Funktionen aufstellen können.

Vor allem muss man ja in a) mit der Funktion, in welche man nur die Zahlen -1 bis 1 einsetzt ganz R erreichen. Da bin ich bisher nur zu ganz exotischen Funktionen gekommen. Big Laugh

Gruß Wink
 
 
Rosén Auf diesen Beitrag antworten »

Aber meine Funktion deckt dieses ab.

Ich habe sie mal mit einen Funktionsplotter gezeichnet.

Es sollte passen, aber bei b) hänge ich total.

Das ist aber auch eine be...scheidene aufgabe Augenzwinkern
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber ich scheiter schon daran die Injektivität zu zeigen. Big Laugh

Wenn f(x) = f(y) ist , dann









Von hier aus sehe ich irgendwie keine sinnvolle Umformung mehr, um am Ende auf x = y zu kommen. verwirrt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas einfacher sieht man Injektivität, indem man nutzt, was angesichts der Form der Ableitung klar sein dürfte. Die Funktion ist also streng monoton und natürlich auch stetig. Das garantiert bereits Injektivität.

Die Funktion ist natürlich stetig und daher streng monoton. Dies garantiert bereits Injektivität.

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, bei ner anderen Funktion habe ich mir das heute auch chon gedacht, wieso ich hier nicht auf diese Idee gekommen bin weiß ich nicht. -.-

Danke smile
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ne hab ich nicht, also die b)

Die a) habe ich allerdings genauso gemacht.

Ich weiss auch dass sie stimmt.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Für die b) gebe ich mal folgenden Tipp:



Bei dieser Aufgabe sollte man sich von der Idee verabschieden, eine stetige Funktion zu finden. Ich gehe spontan davon aus, dass es die nämlich nicht gibt. Aber Bijektionen müssen ja nicht stetig sein.

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann die Vorlesung leider nicht besuchen, daher müssen die anderen eine Rückmeldung geben, ob meine Vermutung stimmt, dass Stetigkeit noch garnicht drankam. ^^
Daher läuft das Ganze leider ohne Stetigkeit. unglücklich
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch die stetigkeit wurde bereits besprochen.

Warum kannst du die Vorlesung nicht besuchen ?

Also nicht ganz so expliziet, aber wir haben schonmal drüber geredt.
Ich hoffe ich verwechsel das jetz nicht, Big Laugh
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Naja und selbst wenn, Ableitungen hattet ihr sicher noch nicht. Hätte ich dran denken können. Augenzwinkern

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Lerne da mit welchen Stocha. ^^
Ab dieser Woche bin ich aber wieder dabei, da wirs verschoben haben. smile
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, ableitungen hatten wir noch nicht dass ist korrekt
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm danke für den Tipp Jetzt muss man also nur noch zusehen, wie man 1 ebenfalls aus dem Wertebereich rauskriegt. verwirrt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Dann führen obigen Umformungen auf



Und jetzt nachdenken. Augenzwinkern

@ Pfirsichtee

Mein Tipp ist der Weg, um die 1 zu töten. Ich wähle nicht zufällig den Buchstaben 'n', das soll nämlich nur für gelten.

air
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das nicht dasselbe wie



Also sind x und y verschieden, und somit auch f(x) und f(y) verschieden.
Damit ist die Injektiv oder nicht ?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz langsam. Wir haben mit angefangen. Injektivität liegt vor, wenn daraus folgt. Wir können jetzt annehmen, dass dies nicht stimmt (also ) und versuchen, daraus einen Widerspruch zu konstruieren. Wegen dieser Annahme ist und wir können die Gleichung durch eben jenen Term teilen, womit wir das von dir erwähnte



bekommen. Die Frage, die zu klären wäre, ist nun, warum dies nicht sein kann.

air
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Frage, die zu klären wäre, ist nun, warum dies nicht sein kann.


Warum was nicht sein kann ?

Das x=y gilt ?

Aufgrund der negativität, und eindeutigkeit der Lösung einer Gleichung.
Oder worauf willst du hinaus ?

Sorry, wenn ich so bescheuert frage smile

denn für gilt ja

edit:

Zitat:
Lies mein letztes Posting nochmal aufmerksam durch, es ist nämlich durchaus wichtig, die logische Vorgehensweise nachvollziehen zu können.


Also ich habe es so verstanden. Wir wollten zeigen dass aus f(x1)=f(x2) => x1=x2 folgern.
Dann haben wir folgendes erhalten



Wenn die gleichheit gilt, dann müsste ja

Damit wir also teilen dürfen, muss gelten.

Somit erhalten wir dann ja das bereits erwähnte


Dammit ist muss auch
gelten.

Also bleibt zu zeigen warum , und ich dachte das könnte ich ebend darüber machen in dem ich zeige, dass zwei Negative zahlen nicht negativ sein können.

Wir können ja annehmen das x=y ist, dann müsste aber xy=-1 sein.
Alleine aus den Axiomen wissen wir das dies nicht sein kann.
Also dachte ich eigentlich, dass wenn ich dies zeige fertig wäre.

Habe ich es denn in etwa schonmal richtig verstanden oder bin ich auf dem Holzweg ?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wir gehen ja davon aus, dass ist und wollen dies zu einem Widerspruch führen. Geführt hat uns das zu und jetzt müssen wir argumentieren, warum keine zwei Zahlen diese Gleichung erfüllen können.

Lies mein letztes Posting nochmal aufmerksam durch, es ist nämlich durchaus wichtig, die logische Vorgehensweise nachvollziehen zu können. Augenzwinkern

air
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Derart große Änderungen bitte in neue Beiträge! smile

Zitat:
Wenn die gleichheit gilt, dann müsste ja


Sagt wer? Das sehe ich nicht und ist auch falsch. Das Problem ist, dass du zwischen x=y und x != 0 wechselst, wie es dir gerade beliebt. Du musst dich anfangs schon festlegen (und je nach Wahl willst du direkt oder indirekt beweisen).

Ich formulier das Ganze mal anders:

Injektivität bedeutet, dass für alle gilt: Ist , so folgt . Wir wollen nun indirekt verfahren, das heißt, wir nehmen an, die Funktion sei nicht injektiv. Dann gibt es also in mit .

Letztere Gleichung setzen wir ein, formen um und erhalten . Nach Voraussetzung ist und daher . Teilen wir also, so erhalten wir


So. Durchatmen. Wir sind nun an folgender Stelle: Wenn die Funktion nicht injektiv ist, dann muss es zwei verschiedene Zahlen geben, die dieser Gleichung genügen. Im Umkehrschluss: Gibt es keine zwei verschiedene Zahlen, die dieser Gleichung genügen, so ist die Funktion injektiv.

Und genau das fehlt noch: Warum gibt es keine zwei verschiedenen Zahlen mit ?

Kleiner Tipp: Bevor man sich fragt, warum etwas gilt, erstmal überlegen, ob es denn stimmt. Ich verrate dir zwar, dass es stimmt, aber eigentlich solltest du jetzt kreischend ein Gegenbeispiel nennen. Augenzwinkern

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich nehme an, dass bei b) die Funktion 1/(x^2 - 1 ) in Frage kommt oder?

Bin noch dabei die Bijektivität von beiden zu zeigen. Vor allem Umkehrabbildungen zu finden ist bei a) irre schwer für mich. verwirrt
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Derart große Änderungen bitte in neue Beiträge! smile


Okay ich werde mich dran halten.

Zitat:
Warum gibt es keine zwei verschiedenen Zahlen mit ?


Warum es die nicht gibt ist mir klar, ich weiss aber jetz nicht wie ich das aufschreiben soll.

Es gibt ja nur -1*1, denn für -1*-1=1 gilt (wie bereits oben geschrieben).

Aber wie ich das jetz anders zeigen soll, fällt mir leider nicht ein.

ich meine für ist ja äquivalent zu und und die sind ja nicht gleich.
Reicht das, oder muss ich das ganz konkret definieren.
Denn diese zahlen wären ja nie gleich.

hm verwirrt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@ Pfirsichtee

Nein, die Funktion kommt nicht in Frage. 1 und -1 sollen nicht im Wertebereich vorkommen, bei dir wäre aber . Umkehrabbildungen musst du gar nicht finden, nach denen ist schließlich nicht gefragt.

@ Hellsing91

Was ist mit und ?

air
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist mit und ?

Ja die sind ebenfalls, -1...ich dachte grade irgendwie wir wären in den Ganzen Zahlen Hammer
Dann gibt es ja eingetlich unendlich viele Zahlen die diese Gleichung erfüllen

jetz muss ich über das ganze nochmal gründlich nachdenken.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt gehen wir in die richtige Richtung. Es gibt unendlich viele Zahlen, die dies erfüllen .... nicht. Denn es gibt eine ganz starke Einschränkung an die Zahlen und , die du nicht beachtet hast. Aus welchem Bereich dürfen die denn nämlich nur stammen?

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Umkehrabbildung zu finden ist nicht gefragt, würde aber die Surjektivität zeigen. ^^

Genrell bedeutet ja Surijektivität :



Normalerweise gehe ich ja dann so vor, dass ich ansetze



Und nun versuche ich nach x aufzulösen, sodass ich praktisch die Umkehrabbildung vor Augen habe und beurteilen kann, ob diese denn auch im Definitionsbereich liegt.

Hier komme ich aber nur so weit :












Ich bekomme nun einfach keine weiteren sinnvollen Umformungen hin, um deutlich nach x aufzulösen. verwirrt
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ja, jetzt gehen wir in die richtige Richtung. Es gibt unendlich viele Zahlen, die dies erfüllen .... nicht. Denn es gibt eine ganz starke Einschränkung an die Zahlen und , die du nicht beachtet hast. Aus welchem Bereich dürfen die denn nämlich nur stammen?


Aus dem Intervall (-1,1) dürfen meine x-Werte stammen.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@ Pfirsichtee

Die Existenz einer Umkehrfunktion beweist übrigens auch Injektivität. Eine Umkehrfunktion existiert nämlich genau dann, wenn die Funktion bijektiv ist. Dass du das nicht aufgelöst bekommst kaufe ich dir nicht ab. Quadratische Gleichungen sollte man schon lösen können! smile

@ Hellsing91

Aha. Genau! Und warum ändert das alles?

air
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich Schwachkopf natürlich haha. Big Laugh
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil uns dann ebend nicht mehr unendlich viele Möglichkeiten offen stehen diese Gleichung zu lösen smile
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@ Hellsing91

Nein, damit bin ich nicht einverstanden. Jetzt muss schon eine exakte, saubere Begründung kommen. Wieso gibt es keine zwei Zahlen aus diesem Intervall, die erfüllen?

air
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Für x=-1 muss y=1 sein

Für x>-1 muss y>1 sein. Das würde allerdings nicht mehr in unserem betrachteten Intervall liegen, weswegen diser Fall nicht eintreten kann.
Genauso für x<1 bräuchte man eine Zahl y<-1

Somit gibt es nur eine exakte Zahl, nämlich die Zahl -1 und 1
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ja – die Idee ist richtig, aber so ganz passt das noch nicht. Augenzwinkern Zum Beispiel ist x = 2 > -1, aber y = -1/x = -1/2 < 1, was deinen Worten widerspricht.

Ich schreibe es dir mal etwas geschickter auf:
Angenommen, . Dann ist



Und damit ist begründet, warum es wirklich keine solche Zahlen geben kann. Wenn es aber keine gibt, dann ist die Funktion injektiv (siehe mein früheres Posting).

air
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Jup, dankeschön Air, du hast mir sehr geholfen smile
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Augenzwinkern

Jetzt geht es aber noch an die b). Hier wird der Nachweis der Bijektivität deutlich einfacher, allerdings ist es schwieriger, die Funktion zusammenzubasteln.

air
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
allerdings ist es schwieriger, die Funktion zusammenzubasteln.


Jup, das stimmt. Auf die a) ist man eigentlich relativ flux gekommen, aber die b)...da sieht das ganze schon anders aus.
Ich guck schon die ganze zeit mithilfe eines Funktionsplotter aber irgendwie finde ich noch keine die auch wirklich jedes kriterium erfüllt.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht denn eine Bijektion aus?

(Keine Sorge, die Antwort ist wirklich so banal, wie du denkst)

air
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich war grade noch etwas am denken.

Das müsste doch die Funktion 1/x sein oder nicht. Wenn ich mich recht erinnere müsste die alle R erwischen und auch Injektiv sein.
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

x -> x
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt Ich hoffe mal, du bist nur überarbeitet!

Zum Einen ist das keine Bijektion (die 0 wird nicht getroffen), zum anderen gibt es eine viel einfachere Bijektion!

Edit: Ja, Pfirsichtee hat's getroffen! Ich schreib in einem neuen Beitrag mehr dazu Augenzwinkern

air
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