Beweis, dass Teilmenge ein Untervektorraum ist

Neue Frage »

HIZTWV Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass Teilmenge ein Untervektorraum ist
Guten Tag,

gegeben ist folgende Teilmenge:


Und ich soll nun überprüfen, ob diese TM ein Untervektorraum ist.

Dafür muss ich ja
1. Zeigen, dass V nicht leer ist
2. Wenn x und y in V sind, so muss auch x + y in V sein
Und 3. wenn und , so ist auch


Meine Überlegungen
1. V ist offensichtlich nicht leer, da enthalten ist.
2. (nach Definition von V)
3.


Nun ist meine Frage, ob das ein ausreichender Beweis ist, da ich mir nicht sicher bin, ob das, was ich bei den einzelnen Punkten gemacht habe, überhaupt richtig ist.



Edit: Bei 3. das "x + y" nach dem 1. = entfernt, da es ein Fehler beim Kopieren war.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis, dass Teilmenge ein Untervektorraum ist
Zitat:
Original von HIZTWV
1. V ist offensichtlich nicht leer, da enthalten ist.


Das ist Quatsch. sind die Einträge des Vektors, also Körperelemente. Und warum sollten diese "offensichtlich" enthalten sein? Gib stattdessen ein Element explizit an, das in dieser Menge enthalten ist.

Zitat:
Original von HIZTWV
2. (nach Definition von V)
3.


Auch das ist so nicht richtig, , links stehen Elemente deines Vektorraums, rechts auf einmal Körperelemente. Selbiges gilt für die skalare Multiplikation.
 
 
HIZTWV Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.
Ich habe x und y als Vektoren betrachtet, die aus den Elementen bzw. .

Wenn das nichts an der Antwort ändert, könntest du mir dann vielleicht einen kleinen Tipp für die herangehensweise geben?

(ich habe bei 3. noch das x + y rauseditiert.)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das ändert nicht viel. sind Vektoren, die Einträge der Vektoren sind Elemente des zugrunde liegenden Körpers, in diesem Fall also reelle Zahlen.

Fangen wir einmal mit einem Vektor an, der in der Menge enthalten. Diesen kannst du einfach explizit angeben.
HIZTWV Auf diesen Beitrag antworten »

Der Nullvektor müsste in der Menge enthalten sein. Er würde zumindest die Anforderung die an ihn gestellt wird, erfüllen ( )
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar, damit haben wir also eine nichtleere Menge (überdies muss der Nullvektor zwingenderweise in der Menge enthalten sein, damit es sich um einen Vektorraum handeln kann, also prüft man üblicherweise sowieso mit dem Nullvektor).

Seien jetzt , was kannst du dann über die Summe sagen? Ist diese auch in enthalten? Wenn ja, warum?
HIZTWV Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich würde sagen, weil und stabil ist, ist auch stabil und somit müssten zwei Elemente aus V wiederum ein Element aus V ergeben.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Also bloß weil eine Teilmenge von ist, ist bezüglich der Addition abgeschlossen?

, also ist diese Menge bezüglich der Addition abgeschlossen und enthalten?

Wie sehen die Komponenten von aus? Erfüllen sie die Bedingung um in enthalten zu sein? (Hier kannst du jetzt einen Teil deines ersten Versuchs abwandeln und verwenden.)
HIZTWV Auf diesen Beitrag antworten »

Scheinbar nicht, denn wenn ich mir dein Beispiel so anschaue, fällt mir überhaupt keine nichtleere, endliche Menge ein, die stabil unter der Addition wäre, es sei denn, sie enthält nur den Nullvektor.


Und die wären in enthalten, wenn .

Was ja eigentlich sogar zutreffend sein müsste denn , richtig?

Danke nochmal für deine Geduld!
Es ist einfach nicht so leicht sich von der schulischen Denkweise zu lösen...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Auch das ist wieder daneben, natürlich gibt es nichtleere Teilmengen des die abgeschlossen bzgl. der Addition sind. Auch deine weiteren Ausführungen sind falsch.

Was muss denn erfüllt sein, damit ein Vektor in enthalten ist? Wie lautet diese Bedingung angepasst auf ?
HIZTWV Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man.. Zum Glück muss ich Mathe für Mathematiker nur im 1. Semester belegen ^_^

Also, damit ein Vektor in enthalten ist, muss die Summe seiner Komponenten sein.
Das bedeutet doch die Angabe, oder?
Wenn ich das auf ummünze, müsste dass ja bedeuten, dass die Summe aller Komponenten von addiert mit der Summe aller Komponenten von , sein müsste
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das solltest du nun anwenden.

Da sind, weißt du auch etwas über die jeweiligen Summen über die Komponenten.
HIZTWV Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja, wenn ist und ist, dann müsste auch sein.
Aber hier scheint ein Logikfehler zu sein, da du dem ja schon widersprochen hast. Nur kann ich diesen nicht finden.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist eben nicht ! Links steht ein Element eines Vektorraums (wobei das eigentlich noch zu zeigen ist), rechts stehen Körperelemente!

Wir betrachten die Summe , das lässt sich schreiben als . Das ist ein großer Unterschied zu dem, was du schreibst.

Über die Komponenten kannst du jetzt eine Aussage treffen und somit begründen, weshalb auch gelten muss.
HIZTWV Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, über diesen großen Unterschied war ich mir nicht bewusst.. Das Bild hatte ich schon irgendwie im Kopf, nur bin ich dann wohl von einer falschen Überlegung ausgegangen.

Also ist: ?

Nun zur Begründung:

und sind somit ist
und
und sind => ?

Versuche ich also "nur" zu zeigen, dass die Komponenten auch noch sind und nicht, dass die Summe der Komponenten 0 ergibt?
HIZTWV Auf diesen Beitrag antworten »

Mein letzter Versuch, die Pause ist eh überfällig, wenn ich mir das von oben nochmal durchlese..
Zitat:
Original von Iorek
Wunderbar, damit haben wir also eine nichtleere Menge (überdies muss der Nullvektor zwingenderweise in der Menge enthalten sein, damit es sich um einen Vektorraum handeln kann, also prüft man üblicherweise sowieso mit dem Nullvektor).



=> in muss auch der Nullvektor enthalten sein. Somit muss
sein.

Geht das jetzt in die richtige Richtung, oder bin ich immer noch auf dem Holzweg, denn dann geb ichs auf...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist noch immer komplett auf dem Holzweg. unglücklich

Noch einmal: Elemente des zugrunde liegenden Körpers. In diesem Fall sind das also reelle Zahlen. Und damit kann auch nicht in sein, sondern . Es ist einfach nur eine kurze Schreibweise für

Warum in "der Nullvektor enthalten sein muss", kann ich überhaupt nicht nachvollziehen. Das ist nämlich nicht der Fall.

Dann machen wir es eben noch einen Schritt konkreter, wir betrachten ganz explizit die Menge . Dann ist natürlich , aber auch etwa , wie sich leicht nachrechnen lässt. Es ist aber auch , das lässt sich ebenso leicht überprüfen. Mit dem Nullvektor hat das aber nun nicht das Geringste zu tun.
HIZTWV Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, nochmal vielen Dank für deine Bemühungen smile

Ich hab' mich heute nochmal mit meinen Mitstudenten unterhalten und im Endeffekt hat jeder so begründet, dass


=>

So sehr ich mich auch bemühe, ich verstehe leider nicht worauf du hinaus willst.
Am Mittwoch erhalte ich die Musterlösung, vielleicht geht mir dann ein Licht auf und ich verstehe, was du gemeint hast.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

So wäre das ja auch nicht zu beanstanden, das wäre eine korrekte Begründung, weshalb ist.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »