Sigma Algebra nachweisen

27.11.2011, 16:03

KnowHow

Sigma Algebra nachweisen

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe folgendes Problem:
Sei $\begin{eqnarray*} \Omega := \mathbb R \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} F := (A \subseteq \Omega | \mathbb N \subseteq A \vee \mathbb N \cap A = \O) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu : F \to \left[0,\infty \right] \end{eqnarray*}$ eine Mengenfunktion mit $\begin{eqnarray*} \mu[A] := \left\{ 0 falls \mathbb N \cap A = \O , sonst 1 \right\} \end{eqnarray*}$ .
Untersuche ob F eine Sigma-Algebra und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ein Maß ist.

Meine Ideen:
Ich bin mir nicht sicher, wie ich die Eigenschaften der Sigma-Algebra zeigen kann. $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt ja offensichtlich in F und für jedes A ja auch das Komplement von A. Aber wie zeige ich die beliebigen Vereinigungen? Oder prinzipiell: Wie schreibe ich alles formal korrekt auf??

Danke!

27.11.2011, 16:34

Math1986

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RE: Sigma Algebra nachweisen

Zitat:

Original von KnowHow

Meine Ideen:
Ich bin mir nicht sicher, wie ich die Eigenschaften der Sigma-Algebra zeigen kann. $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt ja offensichtlich in F und für jedes A ja auch das Komplement von A. Aber wie zeige ich die beliebigen Vereinigungen? Oder prinzipiell: Wie schreibe ich alles formal korrekt auf??

Deine Aussagen sind ja schonmal richtig, versuch mal, das näher zu begründen (warum gilt das?)

Für die Sigma-Additivität nimmst du dir beliebige Mengen aus F und zeigst, dass deren Vereinigung wieder in F liegt.

27.11.2011, 16:45

KnowHow

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RE: Sigma Algebra nachweisen
Mit der Begründung hab ich schon meine Probleme (zumindest mit der Formulierung).

$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ muss darin liegen, da ja $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist. Und wenn ich mir eine beliebige Teilmenge aus \mathbb nehme, welche die Eigenschaft für F erfüllt, dann auch das Komplement. Aber das wäre noch keine exakte Begründung oder??

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