Rotationsvolumen -> Unbekanntes Funktional

27.11.2011, 17:15

der Rotierer

Rotationsvolumen -> Unbekanntes Funktional

Meine Frage:
Hallo

Ich habe hier einen handgeschriebenen Zettel. Auf diesem ist im Zusammenhang mit dem Rotationsvolumen das Funktional
$\begin{eqnarray*} \Phi(y) = \int_a^b \! \lambda \sqrt{1+ y'^2} + y^2 \, dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ ohne Herleitung/Anmerkung gegeben.

Meine Ideen:
Die Formel für das Rotationsvolumen ist doch eigentlich
$\begin{eqnarray*} \Phi(y) = \pi \int_a^b \! y^2 \, dx \end{eqnarray*}$

Leider hab ich keine Ahnung, wo die Wurzel herkommt, oder wofür das Lambda stehen könnte.
Ich befürchte, dass ihr da wohl auch nur raten könnt, aber vielleicht hat ja doch jemand eine Idee, was die Formel aussagen könnte.

Gruß,
der Rotierer

27.11.2011, 17:33

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rotationsvolumen -> Unbekanntes Funktional
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \sqrt{1+ y'^2} \, \dd x \end{eqnarray*}$

ist die Weglänge der Kurve zwischen (a|y(a)) und (b|y(b))

das nur mal so als Hinweis

27.11.2011, 19:22

der Rotierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Ja, das stimmt. Allerdings weiß ich noch nicht, wieso ich dies einfach zum Volumen (ohne den Faktor $\begin{eqnarray*} pi \end{eqnarray*}$ ) addieren sollte.
Das ergibt für mich keinen Sinn.

27.11.2011, 20:25

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rotationsvolumen -> Unbekanntes Funktional

Zitat:

Original von der Rotierer
$\begin{eqnarray*} \Phi(y) = \int_a^b \! \lambda \sqrt{1+ y'^2} + y^2 \, dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$

Es gibt noch die Formel nach der die Mantelfläche

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \sqrt{1+ y'^2} \, dx \end{eqnarray*}$ mal dem Weg des Schwerpunktes des Bogens ist. (Gouldinsche Regel).

( Was mich aber stutzig macht, ist, dass das zitierte Integral eine Funktion von y ist ??)

Oder ist doch $\begin{eqnarray*} \Phi(y(x)) \end{eqnarray*}$ gemeint? Ich denke schon.

genauer müsste man wohl schreiben:

$\begin{eqnarray*} \Phi(y(x),a,b,\lambda) = \int_a^b \! \lambda \sqrt{1+ y'(x)^2} + y(x)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

hilft aber auch nicht weiter. verwirrt

27.11.2011, 20:37

der Rotierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte jetzt gesagt, dass die x-Abhängigkeit ja in der Funktion y steckt. Allerdings kann man es wohl auch ausführlicher schreiben, wie du es getan hast.

Die Gouldinsche Regel sagt mir nichts. Der erste Eindruck bei Wikipedia sieht für mich erstmal nach der üblichen Formel aus. Allerdings müsste ich mir das nochmal genauer angucken.

Auch, wenn mein Problem noch nicht gelöst ist, schonmal danke für deine Hilfe und Anmerkungen bis hier hin.

Gruß,
der Rotierer

Neue Frage »

Antworten »

Rotationsvolumen -> Unbekanntes Funktional

Verwandte Themen