konvergenz von reihen mit einer einschränkung

27.11.2011, 18:50

chrlan

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konvergenz von reihen mit einer einschränkung

Meine Frage:
Hab folgende Aufgabe:
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} , \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[7]{n}} , \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} -\sqrt{n}}{n} ,\qquad \sum_{n=1}^{\infty^{'}} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Hierbei soll das Symbol $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty^{'}} \end{eqnarray*}$ andeuten, dass die Summe nur über diejenigen $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ zu erstrecken ist, in deren

Dezimaldarstellung die Ziffer 7 nicht vorkommt.

Meine Ideen:
Habe die ersten drei gelöst (denke ich) Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
die ersten beiden mit quotientenkriterium die dritte mit majorantenkriterium. komme allerdings bei der letzten nicht weiter. ich weiß nicht wie ich das mit der einschränkung verstehen soll, dass keine 7 vorkommen darf. wäre über einen kleinen tipp sehr dankbar.
wenn ich bei der ersten auf das komme:
$\begin{eqnarray*} \left| \frac{\sqrt n}{\sqrt{n+1}}\right|\le C \end{eqnarray*}$
dann bin ich doch fertig, oder?
weil n<n+1, ist der bruch kleiner als c mit c<1 oder?

27.11.2011, 20:39

Calahan

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RE: konvergenz von reihen mit einer einschränkung
Ich bezweifele, dass das Quotientenkriterium bei der ersten Reihe weiterhilft.

Was die letzte Reihe angeht: Eine derartig 'ausgedünnte' harmonische Reihe nennt man auch Kempnerreihe.

27.11.2011, 23:22

chrlan

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also hab ich das falsch gemacht?

28.11.2011, 11:07

chrlan

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es ergibt sich bei der letzten also eine obere schranke von 90, da jedesmal eine 7 fehlt.
wieso kann ich die erste nicht mit dem quotientenkriterium lösen?

28.11.2011, 11:23

Calahan

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Weil jedes $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ irgendwann von $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac n{n+1}} \end{eqnarray*}$ übertroffen wird, da $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac n{n+1}}=1. \end{eqnarray*}$

28.11.2011, 11:24

Mulder

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Zitat:

Original von chrlan
wieso kann ich die erste nicht mit dem quotientenkriterium lösen?

Weil's nicht klappt? Zeig doch mal, wie du es gemacht hast.

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28.11.2011, 11:33

chrlan

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achso dann funktioniert das nur wenn das gegen 0 geht.
da hab ich wohl wieder zu schnell gelesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

vielen dank!

28.11.2011, 11:35

Mulder

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Gegen 0 muss das nicht unbedingt gehen... schau vielleicht nochmal kurz hier.

Das, was da q genannt wird, wirst du hier nicht finden.

Edit: Sorry Calahan, ich hatte komplett übersehen, dass du doch da bist.

28.11.2011, 11:38

Calahan

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Nö, das funktioniert z.B. auch dann, wenn der Quotient gegen einen Wert kleiner 1 konvergiert.

Übrigens würde ich bei der Konvergenzuntersuchung der ersten 3 Reihen mal das Verdichtungskriterium in Betracht ziehen.

@Mulder: Kein Problem!

28.11.2011, 18:51

333

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Was ist denn das Verdichtungskriterium? wir hatten in der Vorlesung nur Wurzel- , Quotienten- , und Majorantenkriterium gehabt. Von einem Verdichtungskriterium habe ich nichts mitbekommen unglücklich

unglücklich

kanns du mir erklähren wie das funktioniert? smile

smile

29.11.2011, 08:45

chrlan

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musst du hier nachschauen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysches...htungskriterium

29.11.2011, 12:10

333

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hmmm... danke für den Link, aber irgendwie verstehe ich das doch noch nicht ganz unglücklich

unglücklich

kannst du mir das vielleicht an einer der Aufgaben zeigen, damit ich so ein konkretes beispiel habe wie das funktioniert?

29.11.2011, 19:03

chrlan

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komme mit verdichtungskriterium auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} S_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 n \end{eqnarray*}$ hat das gleiche Konvergenzverhalten wie:
$\begin{eqnarray*} T_n=\sum_{k=0}^n 2^k\frac 1 {(2^k)^{\frac 1 2}}=\sum_{k=0}^n \frac{2^k}{2^{\frac 1 2 k}}=\sum_{k=0}^n (2^{\frac 1 2})^k=\sum_{k=0}^n \sqrt{2}^k \end{eqnarray*}$
also ist es eine geometrische reihe wie folgt:
$\begin{eqnarray*} s_n=\sum_{k=0}^n a_0 q^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ .
da das hier nicht der fall ist: $\begin{eqnarray*} q=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$
divergiert die folge.
ist das so richtig?
hab das ehrlich gesagt auch noch nicht so ganz verstanden, also bitte ich mal ganz höflich um korrektur Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.11.2011, 19:43

chrlan

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bei der kempnerreihe müsste 80 als obere schranke rauskommen

29.11.2011, 22:02

Chickenjoe

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Hallo!

Ich hab die selben Aufgaben!

Bei der 1 müsste man normalerweiße auch mit der Minorante $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac 1 n \end{eqnarray*}$ Das ist ja die harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert.

Bei b hab ich raus das die konvergiert. stimmt das?

29.11.2011, 22:20

Calahan

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Die harm. Reihe als div. Minorante bei der ersten Reihe ist eine gute Wahl.
Die übrigen Reihen konvergieren.
Bei der 2. und 3. läuft's über das Verdichtungskriterium, da ja im wesentlichen jeweils eine Reihe der Gestalt

$\begin{eqnarray*} \sum \frac 1{n^\alpha},~\alpha>1 \end{eqnarray*}$

vorliegt.

29.11.2011, 22:24

Chickenjoe

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Alles klar! Vielen Dank!

Werd die anderen beiden wohl auch noch auf die Reihe bekommen, ist immer gut, wenn man weiß wo man raus kommen sollte, dann macht man normal auch nix falsch! Also nochmal danke!

30.11.2011, 09:19

chrlan

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RE: konvergenz von reihen mit einer einschränkung
also nehme ich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac 1 n \end{eqnarray*}$
also minorante und mache [html]<a href="http://de.wikibooks.org/wiki/MathGymOS/_Analysis/_Folgen_und_Reihen/_Konvergenz_und_Divergenz_von_Reihen"> den</a>[/html] beweis der divergenz?

ps: warum geht die verlinkung nicht?

30.11.2011, 20:33

maths_1

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mhhh... tut mir leid dass ich mich hier einmische. aber woher weis ich denn, dass die 3te reihe konvergiert?

wenn ich das verdichtungskriterium anwende habe ich doch
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (2^n \frac{\sqrt{2^n+1}-\sqrt{2^n}}{2^n} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{n=1}^\infty \sqrt{2^n+1}-\sqrt{2^n} \end{eqnarray*}$

woher weis ich dass das kovergiert? ich weis, dass die folge $\begin{eqnarray*} \sqrt{2^n+1}-\sqrt{2^n} \end{eqnarray*}$ kovergiert, weil ich es in einer früheren aufgabe gerechnet habe. aber kovergiert dann deshalb auch die reihe? verwirrt

verwirrt

01.12.2011, 06:45

maths_1

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gehts noch weiter?

tut mir leid wegen meiner ungeduld (btw: guten morgen) smile

smile

01.12.2011, 09:12

Calahan

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Bevor Du Dich auf die verdichtete Reihe stürzt, solltest mittels 3. bin. Formel den Summanden etwas umformen.

01.12.2011, 17:57

maths_1

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okeee neuer anlauf...

also wenn ich erst die dritte binomische formel anwende dann habe ich da

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty ((\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n} )\cdot (\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}})) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n \cdot(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \end{eqnarray*}$

so mit dem verdichtungskriterium:

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty 2^n \frac{1}{2^n \cdot(\sqrt{2^n+1}+\sqrt{2^n})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(\sqrt{2^n+1}+\sqrt{2^n})} \end{eqnarray*}$

so und wie schätze ich jetzt ab? konvergente majorante? hätte da was abenteuerliches. aber gefällt mir selbst nicht

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(\sqrt{2^n+1}+\sqrt{2^n})} < \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(\sqrt{2^n}+\sqrt{2^n})} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2^n}} < \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{{2^n}} = \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^n \end{eqnarray*}$

so das konvergiert, weil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} < 1 \end{eqnarray*}$ oder ist das jetzt grobe vergewaltigung der mathematik diese abschätzung? verwirrt

verwirrt

01.12.2011, 18:02

maths_1

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statt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(\sqrt{2^n}+\sqrt{2^n})} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2^n}} < \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{{2^n}} = \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^n \end{eqnarray*}$

muss es

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(\sqrt{2^n}+\sqrt{2^n})} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2^n}} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}^n} < \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1^n}{\sqrt{2}^n} = \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{\sqrt {2}})^n \end{eqnarray*}$

heißen.

02.12.2011, 09:30

maths_1

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keiner???

geschockt

02.12.2011, 09:54

HAL 9000

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Ja, ist in Ordnung. Freude

Freude

Eine andere Möglichkeit ist die Majorantenabschätzung durch eine Teleskopreihe: Basierend auf der Abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1}}{n} = \frac{\sqrt{n^2-1}}{n\sqrt{n-1}} < \frac{1}{\sqrt{n-1}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt nämlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n} < \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n}} \right) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Ist zugegebenermaßen wohl erst mit etwas Erfahrung zu erkennen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.12.2011, 10:46

maths_1

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alles klar danke Hal 9000 (den anderen natürlich auch).
dann übernehme ich da so Tanzen

Tanzen

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