Berechnung des Bildes

Neue Frage »

Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung des Bildes
Meine Frage:
Sei und eine Abbildung .
Ist diese linear? Bestimmen Sie Kern und Bild.



Meine Ideen:
Die ersten beiden Teile habe ich schon beantwortet.
Ich hänge allerdings daran, das Bild zu bestimmen ..





Bisher hatte ich mir jetzt einfach Bildvektoren geuscht, und geprüft ob diese linear unabhängig sind..
Also einfach statt der Matrix M mit a,b,c,d Werte eingesetzt und die Bildvektoren gepürft..

Aber ich zweifel immer mehr, dass das der richtige Weg ist um ein Bild zu bestimmen ?!

Zumal ich ja jetzt auch keine Bildvektoren herausbekommen würde, sondern Matrizen, wie ich 2 Matrizen auf lineare unabhängigkeit prüfen soll, wäre mir auch unklar.. Mit den Vektoren innerhalb EINER Matrix, ist das ja klar..


Ich wäre für Hilfe dankbar. smile
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zu der einen Frage: Lineare Unabhängigkeit von Matrizen (sind auch nur Vektoren) überprüfst du ganz genau so wie bei Vektoren des . Zwei Matrizen sind linear unabhängig wenn gilt:



Dabei steht da in der ersten Gleichung die 0-Matrix. Um lineare Unabhängigkeit zu zeigen, musst du also hier ein LGS lösen (2 Unbekannte, 4 Gleichungen, wenn wir von 2x2-Matrizen sprechen).

Aber es geht einfacher. Du kennst doch sicherlich den Zusammenhang zwischen Abbildungsmatrizen und Kern und Bild, oder?

[Artikel] Basis, Bild und Kern
[Artikel] Abbildungsmatrizen (Beispielaufgaben 2 helfen dir)
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke, der erste Link hat mir schonmal ziemlich die Augen geöffnet..
Nur eine blöde Frage, wieso muss ich die Matrix transponieren, um später das Bild ablesen zu können?
Wäre es verkehrt, sie einfach so in die Zeilenstufenform zu bringen ?

Meinst du mit dem Zusammenhang jetzt dimV = dimKer(f) + dimIm(f) ??


mal sehen ob, ich dass jetzt richtig verstanden habe..



Letzeres ist meine Abbildungsmartix.
An diese Würde ich jetzt einen Vektor multiplizieren, dessen Bild ich wissen möchte ..
Wa sich daran nicht verstehe, ist es nicht einfacher, den Vektor einfach nach Funktionsanordnung (wahrscheinlich der falsche ausdruck) in die Funktion einzusetzen und auszurechnen?


Gut, aber ich will doch nicht nur irgendeinen Bildvektor zu irgendeinem beliebigen Vekotor aus dem Definitionsbereich, wie es in den Aufgaben war ?
Muss ich nicht eine Basis angeben, so untere dem ersten Link gezeigt?

Also würde ich jetzt die Abbildungsmatrix transponieren?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Traumtänzerin
Nur eine blöde Frage, wieso muss ich die Matrix transponieren, um später das Bild ablesen zu können?
Wäre es verkehrt, sie einfach so in die Zeilenstufenform zu bringen ?


Ja, das wäre verkehrt. Mit der Zeilenstufenform formt man Zeilenvektoren um, du möchtest bzw. musst aber Spaltenvektoren umformen.

Zitat:
Original von Traumtänzerin


Letzeres ist meine Abbildungsmartix.


Ganz falsch (die Abbildungsmatrix bestimmt man ganz anders), aber man kann das in diesem Fall wirklich ganz gut auch so machen. Du hast jetzt rechts eine allgemeine Matrix dranmultipliziert. Wann ist das Ergebnis gleich der Nullmatrix? Das ergibt wieder ein LGS, was du lösen musst, Unbekannte sind a, b, c und d.

Für das Bild könntest du additiv auseinanderziehen. Teile das in eine Matrix auf, die nur a enthält, nur b ...

Beispiel aus dem .

So sollst du das mit dieser Matrix machen.
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »

Also so:


Und was sehe ich jetzt?



Sieht irgendwie verkehrt aus?

Ich würde es jetzt Für Lambda = 0 lösen, also für 2 verschiedene Fälle..
Dann die Matrizen auf unabhängigkeit prüfen.. und würde dass dann als die Basis des Bildes nehmen ?

Wahrscheinlich völliger Unsinn. verwirrt
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Traumtänzerin
Also so:


Und was sehe ich jetzt?


Noch nichts. Zieh weiter auseinander, du bist auf dem richtigen Weg. In den Matrizen sollel nur a's, nur b's, nur c's und nur d's vorkommen. Du hast jetzt die Matrix als Summe von zwei anderen dargestellt. Stell sie als Summe von vier dar.
 
 
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mir heute Morgen auch eingefallen, wie du das eigentlich gemeint hattest.






Mhh.. Okay, das sind doch jetzt aber Vektoren?
Bilde ich nicht auf eine Matrix ab ?

Ich glaub ich steh auf dem Schlauch..
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Traumtänzerin



Mhh.. Okay, das sind doch jetzt aber Vektoren?
Bilde ich nicht auf eine Matrix ab ?



Du bildest auf eine Matrix ab, genau. Das war jetzt leider ein Rückschritt. Du hattest es doch erst richtig bei zwei Matrizen. Rechts müssen Matrizen stehen.

Noch mal ein einfaches Beispiel dazu:



In den einzelnen Matrizen stehen nur a, b, c oder d. So sollst du das auch machen. Denk an dein erstes Auseinanderziehen, das war doch gut!
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh. okay gut.



Stimmt, so macht das jetzt für mich auch wieder Sinn.
Das wären jetzt meine Bild Vektoren ?
Wenn ich jetzt Werte finde, für die die vier Matrizen linear unabhängig sind, ist das meine Basis ?

Wenn das stimmt, hab ichs kapiert. smile
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt auch nicht. Augenzwinkern Die Umformung ist jetzt ok, aber du darfst dir keine Werte wählen. Das, was da steht, ist das Bild irgendeiner Matrix. Ziehe nun die Konstanten, die in den Matrizen stehen, heraus und es steht eine Linearkombi von 4 Matrizen da. Die überprüfst du auf lineare Unabhängigkeit. Sind sie linear unabhängig, hast du eine Basis des Bildes. Ich kann dir aber sagen: Sie sind es nicht.
Nimm dir die Matrizen und identifiziere sie mit Vektoren des . Das geht so: . Das machst du mit allen 4 Matrizen und bestimmst dann eine Basis dieser Vektoren des .

Wenn du fertig bist, musst du sie wieder in Matrizenform bringen und hast eine Basis des Bildes.
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also wenn ich das jetzt endlich richtig verstanden habe, sollen diese Vektoren linear unabhängig sein?



Das ist doch aber nicht möglich, weil je 2 immer Vielfach der anderen sind?

Oder heißt das für mich einfach nur, dass meine Basis nur aus 2 vektoren, und dann Matrizen besteht ?



Die sind jetzt ja auch linear abhängig,.. kann ich das Spiel nicht ewig so weiter spielen ?

Ich hätte jetzt gesagt 2 der vier Vektoren sind linear unabhängig, und smoit die Basis.

Also
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ... unglücklich Du solltest doch die Konstanten herausziehen, a, b, c und d haben quasi die Rolle deiner .

Im Prinzip hast du aber auch recht, du kannst die Konstanten auch beliebig wählen, die lineare Abhängigkeit geht dadurch nicht verloren. Ich meinte es aber so:



So, und diese 4 Matrizen sollen nun auf lineare Unabhängigkeit überprüft werden. Und einfach so Basisvektoren weglassen gefällt mir nicht so. Mach es streng nach dem Gaußverfahren, die Matrizen in Vektoren des umwandeln (das war wunderbar bei dir) und umformen.

Edit: Dennoch hast du Recht, nur solltest du das noch mal rechnerisch nachweisen. Und ein "span" vor den Matrizen wär auch noch vonnöten.

Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »

Achso.. mhh..
Aber wenn ich jetzt a = -2 , b=1, c=-2. und d=1 habe, irr ich oder sind sie durch diese Darstellung des Nullvekotrs nicht linear abhängig?

Okay, das mit dem Span guck ich mir nochmal im Skirpt an.
Danke. smile
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Traumtänzerin
Achso.. mhh..
Aber wenn ich jetzt a = -2 , b=1, c=-2. und d=1 habe, irr ich oder sind sie durch diese Darstellung des Nullvekotrs nicht linear abhängig?


Dein Mhh ... hört sich noch nicht so ganz nach Verständnis an, oder irre ich mich?

Unterbewusst lieferst du so eine Begründung, warum das Bild zweidimensional ist.
Wie du siehst, kann man Bilder als Summe von 4 (!) Matrizen darstellen. Diese 4 Matrizen sind aber linear abhängig, das sieht man unter anderem, wenn man deine Werte einsetzt. Es kommt die Nullmatrix heraus, ohne dass alle Vorfaktoren 0 sind.

Nach meiner Umformung weiß man, dass


Aber das heißt nicht, dass diese 4 Matrizen auch eine Basis bilden, erst mal sind sie nur ein Erzeugendensystem des Bildes. (Alles noch mal im Skript nachgucken, wenn dir die Begriffe nichts sagen)

Und durch die Umformungen (mittels Gauß) kommt man dann zu:


Schon mal bitte, aber frag ruhig noch mal nach, wenn dir was nicht klar ist.
Traumtänzerin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube grade ist bei mir der Groschen gefallen.
Ich muss nicht zwangsläufig eine Basis des Bildes angeben, wenn einfach nur nach dem Bild gefragt ist ?!
Erzeugendesstem und Basis sind zum Glück mal 2 bekannte Begriffe. Big Laugh

Ich wollte nur irgendwie partout eine Basis angeben. ^^

Super, daaaanke. Freude
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Oft gibt man das Bild (oder den Kern) als Spann von Basisvektoren an, aber du hast Recht, man muss das nicht. Man kann auch lediglich ein Erzeugendensystem angeben, wenn nicht ausdrücklich eine Basis gewünscht ist.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »